3c8 Sposizione del metodo delle equipollenze 



e la (2) ci esprimerà (5. 188) anche la cercata trajettoria 

 quando si supponga che t sia, anziché un parametro costante, 

 una opportuna funzione di t\ in questa ipotesi la tangente 

 della traiettoria sarà data da 



(4) D,M-^BrMAT^[e^ i — e~^ e~')y -^-{e^ Ì—é~^ e-^)àt. 

 Dovendo per la condizione delle trajettorie obbliquangole esser 

 costante la differenza delle inclinazioni delle (3), (4) avremo, 



tolto il fattore comune e^ e — e~^ ~ , 



y^ -4- d T =^ /> g" :^ /> cos a -4- p sen a y^, perciò dr^atga, 

 cioè T = ? ctga -1- logc; così la (a) diventa la (i) del §. iga. 

 194. Accenniamo alcune proprietà della trovata curva. — 

 La equipollenza (i) si decompone nelle due 



(5) CP:^cfl*£% PM =£:h e— ' a— ' £— % le quali esprimono 

 che M descrive intorno al punto P una spirale logaritmica 

 nello stesso tempo che P ne descrive un' altra intorno a C, i 

 due movimenti sono tra loro legati col mezzo della 



(6) C P . P M =£1: I . Così la nostra curva è rispetto alla spi- 

 rale logaritmica quel che 1' ellisse considerata come ipocicloide 

 (5- iSa) è rispetto al circolo. 



igS. Se poniamo CK£IbaCP:£i=aca frCbae'^f, 



C K, i::^ a . P M =£1: 4 : G K, il punto M è alla metà della retta 

 KjK. La tangente in M alla nostra curva forma colla MK 

 l'angolo a\ infatti prendendo le derivate rispetto (per brevità) 

 alla variabile indipendente a; = ^: sena si ha 



(7) dMr£^(ca f'— c~'a'~'£~')(ctga-i->^)di£:b 



£:= ( e a' £' — c~' a~' £~') e" — «" • MK . Inoltre 



(8) d^I^e'^.CM, d^MzCb£^".MK, d'^M rCb e'^^.'CM, ec. 

 Quindi per la (4) del %. 1 64 porremo e" . C M £^ ( / -f- >i y^) M K 

 ed il raggio di curvatura sarà dato da M R =^ -j- e M K . 



Potremo costruire queste due equipollenze tirando la MQ che 

 abbia sulla MG l'inclinazione a-h—, poscia innalzando KQ 



