3ia Sopra gli integrali generali ec. 



Le operazioni indicate dal simbolo Q si riducono al teorema 

 di Taylor, e ponendo in fine 



F(T)=/[x-t-a(i — t), y-i-b{t — t), z-i-c{t — T), t], 



si avrà 



u = e"' rp(x-^-at, y-^bt, z-^-ct,...) -i- f^^ e"^^~''^ ¥ [t) dx . 



Quando il secondo membro dell' equazione sia nullo, in allora 

 per r integrale di 



(Df — flDj; — bTiy — cDs — .... — m)M = o, 



si ha soltanto 



u = e^ 7p [x-i-at, y-^bt, z-hct, . . . .). 



La funzione arbitraria ip si determina col suppone, clie per 

 un valor particolare di t, la u riducasi ad una funzione cognita 

 delle restanti variabili x,y, z^ . . . . 



a.° Consideriamo particolarmente un' equazione fra le tre 

 variabili indipendenti x, y, z, e prendiamo 



{aD,: -+- bBy -\- cD^) ui=f{x,y,z). 

 Dividendo il primo e secondo membro per uno dei coefficienti 

 e, e posto per brevità — = — a\ — = — b\ si avrà 



{B,-a'Dy-b'D^)u=li^^lIl^, 



d' onde chiamando t^ la funzione arbitraria, e supponendo che 

 r integrazione abbia luogo a partir da x^=- Xa-, avremo per 

 r integrale 



u = e^"'^-^ ■*■ *'°')'' ^{y->^) ^ r ^{x-s)(a'D^ + b'D.) f{s,y, z) ^^ 



a J xa a ' 



Sia nullo il secondo membro dell' equazione, e si eseguiscano 

 le operazioni indicate dai simboli esponenziali, e si sostituiscano 

 nuovamente i valori di a', b\ è chiaro che 1' integrale della 

 equazione 



( a D^ -t- è D^ -+- e D^ ) Zi := o , 



