Memoria del Prof. Barnaba Tobtolini 819 



si avrà solamente 



a^ u = x^ (p -i- x'' ìp -ì- X fb -¥- % . 



Qui pure determineremo le quattro funzioni arbitrarie (p, ip, <!', ^ 

 sotto la condizione che per x = X, risulti 



u = F^{y,z), D^z/ = F,(y,z), D%m = F^(j,z), D\^u=zF3{y,z) . 



Dalla derivazione del valore generico di 11 abbiamo 



a^'D^u = 3x''(p-i-2.xìp-^i^-+-x^'D^(p-\-x^D,ìp-^x'D^*Ì -h D^%. 



Sostituiamo ora x = X nelle due funzioni u, Dr?<, i primi 

 membri si ridurranno a F„ (j, z), F, {y, z), e se come già si 

 è praticato di sopra si cangi y, z in 



y -i- a {x — X) = A, z -+- b' [x — X)^ft, 



otterremo con facilità 



a4F„ ( A, ^) = X'(^ -t- X^,// -H X$ -»- ;(; 



a4 F . ( A , ;< ) = 3 X^ (^ -1- a X »// -H «P -4- fl4 D,F, ( A , ^ ) . 

 Proseguiamo la derivazione sopra Dj.ii, si troverà 



a^ D\ u = 6x(p-i- 2, ip -\- òx^D^ (p-i- 4 xD^ip -i- 2.D^^ 

 -H x^ D% <p -H X" D% rp-i-x D% «P -H D% ;^ . 



Per la sostituzione di x =: X il primo membro diviene 



a'*Fa(j, ^), ed introdottici le variabili /l, ;f, si ricaverà 



a^F,{À,ti) = bX(p-\-2rp-^-2ai D^F, ( ;i, ^i ) — a'* D^Fo (À, ^ ). 

 Proseguiamo ancora la derivazione per ottenere D^^», verrà 

 <z^ D'^ ;/ = 6 (^ -+- 1 8 X D,g3 -H 6 D,i^ -t- 9 cr» D%(^ -t- 6 X D%i/^ H- 3D%«I> 



ove posto x = X, ed introdottici i consueti valori di À, {.i ot- 

 terremo egualmente '''A ''jL> aiioisGfjp;) Mba m ib s-m 



«4 F3 ( ;., ^ ) = 6 ^ -H- 3 «4 D,F,|^.,^^ ) - 3 a4 D%F. ( A, ^ ) 



-f-a4D^Fo(A,f/). 



