3aa Sopra gli integrali generali ec. 



Cosi per la supposizione di «=i, /z = a, avremo le fbrmole 

 parziali 



I — i r^^ r^ sen/y cip dq 



o;^ -(- j^ -H ^^ ^TT J o J o (a X -i- (j y -i- j z )'■ 



I — 3 r^JT /^jT sen p cip dq 



( X" H- 7" H- s" )^ ~ ~4' J o J o {a X -^ (^ y ->•- y zf ' 



Tutto ciò che abbiamo finora esposto ci condurrà alla risolu- 

 zione di questioni più difficili e più estese relativamente alla 

 integrazione delle equazioni a derivate parziali: aggiungiamo 

 di più che aumenteranno le risorse dell'analisi, quando ai 

 quadrati a;% y% z^ si sostituisce jc+, y*, z'^, e successivamente 

 alle x^^y'^iZ^ si sostituisce a;^, 7", z^, ed in generale, se l'espo- 

 nente sia rappresentato da una potenza di a. 

 8." Sia da integrarsi 1' equazione 



(D^-i-DV-*-D\)zi=/(x,j, z). 



Dall' analogia delle potenze con le differenze si avrà per il 

 suo valore simbolico 



_ /(a:, 7, z) 

 " ~ D% H- D^^ -4- D\ ' 



Considerando le caratteristiche D^, D^,, D^^ come se fossero vere 

 quantità, è chiaro che per le ultime fijrmole del precedente 

 parag. 7°, il valore <li u si trasformerà in un integrale doppio, 

 ove le caratteristiche D^., D^, D- sono al primo grado, per cui 

 sostituendovi i valori di a, ^, y delle coordinate sferico polari, 



SI avrà 



f [x^y^ z) senp dp clq 



hfTcJo J o (cos/?Dj. -+■ seiì/j cos qDy -+• senp sen qD^)' ' 



La questione adunque si riduce alla ricerca di una funzione 6*, 

 che verifichi I' equazione a derivate parziali 



(cosjpDj; ■+- sen/7 cos^D^, -+- senp senqB^yd =f{x,y^ z), 



il che già si è fatto nel parag. 4°5 e si potrà scrivere 



