3^0 Sopra gli integrali generali ec. 



d' onde dalla sottrazione otteniamo 



log I — 1 := TC are . sen [x\ . 



\\ — xcosp/cos/' 



Quest' integrale definito insieme ad altri dello stesso genere 

 trovasi alla pag. i^\b del citato Voi. a° del Signor Raahe. Per 

 dare infine un altro esempio, poniamo nella seconda delle for- 

 mole di questo parag. a; = ^sen(^, ed integriamo invece fra 

 i limiti p = o^ p=zji^ avremo per k<C.i 



I I /'« dp 



j/( I — ^^sen^<|5) 7t J o i -\- k %Gn (p co% p ' 



Moltiplicando per d(p^ ed integrando, verrà 



dp d(p 





■k sen (^ cos/7 



Il primo membro rappresenta una funzione ellittica di prima 

 specie, e per le notazioni di Legendre si noterà con F(A;, i^), 

 mentre nel secondo membro integrando rapporto a (p abbiamo 

 facilmente 



J i-¥-kscn<pcosp — |/(i — ft»cos"p) » V [/( , _ A» cos»/*) / ^ 



Supponiamo per la costante C che 1' integrale abbia luogo a 

 partir da (p = c, avremo per la medesima 



C = 



. / k cos» \ 



are tang ( -y. ,.. , , ) , 



\ l/( I — k' cos" p) / 



[/{ I — A" cos'p) 

 d' onde dopo la sostituzione e riduzione si troverà 



f 'i'P — ° , are tang / sen,^ |/( i-t'cos'p) >. _ 



J I -H /: sen (^ cosp [/{ i — A' cos"y) ) ' ^ \ i -^- (.os ip -i- k zoi p sen ip ) 



Di qui r integrale rapporto a /? sarà ridotto ad una funzione 

 ellittica di prima specie, vale a dire 



Y ( k (Ù\ = - n —^^— are tan-f sen^|/( .-/i' cos'p) v 

 V ' ' ' '"'lo !/'( ' ~''' <^os"jo) " o V I H- cos^ -+- /e cos/) sen^ / 



