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MORIA RELATIVA AI VALORI eC. 



Dimostrazione. Ritenuta x positiva, sarà — > «2 qualora 

 sia aF'^mx. Quest'ultima relazione (indicando con p la fra- 

 zione — ) si cambia nella d'"^'' ^ m.mp. Questa sussiste se 

 sussistono le due seguenti 



cCP > />'", /»'" > rrì'p , 

 le quali equivalgono alle 



aP ":> p^ Z?"-' > TU'. 

 La prima di queste due sussiste in ogni caso (5- prec, lemma 3°); 



m — 1 



la seconda sussiste se p è maggiore di i/'/ra*. Dunque se p, 

 ossia —, sarà maggiore di i/m''; ovvero, ciò che vale lo stesso, 



se X sarà maggiore di m (//tz^, noi avremo «^ > /tz x , ed 



— >??z. Dunque ec. 



la. Data una costante positiva m comunque grande, esiste 

 un' altra costante positiva tale che, ogniqualvolta la x superi 



questa seconda costante, riesce .—^"^m. 



Dimostrazione. Rappresentiamo con y quella quantità che 

 rende soddisfatta la equazione x = ey, essendo indicata con e 

 la base dei logaritmi neperiani. Avremo logx=y, e perciò 



X _ey 

 \ogx y 



Ma pel teorema precedente sappiamo che esiste una co- 

 stante positiva ( che per brevità chiamerò a ) tale che riesce 



— >/?2 purché sia y>a. Sarà dunque anche j-^>.?7z pur- 

 ché sia loga;>6c, vale a dire, purché sia x'^e"' . Dunque ec. 



i3. Il precedente teorema ha luogo anche se, invece del 

 logaritmo neperiano di x, si pone il logaritmo di x preso in 

 un sistema qualunque avente per base una quantità maggiore 

 dell' unità. 



