Dell' Ing. Pietro Domenico Marianini 867 



Infatti, indicata con a la base del nuovo sistema, e con 

 Logj: il logaritmo di x preso nel sistema medesimo, avremo 



LoS^=i3|7«' e perciò 



X X log a 



Log X log X 



Ora, pel teorema precedente, esiste una costante positiva (3 



X m 



\oeLX "^ lojift 



tale che riesce ■. — "> ,-— - ogniqualvolta x è maggiore di 



I02 X "^ IO" a e 1 DB 



R. Ma, quando r— - è maggiore di -r— -5 è anche ^^->m 



'^ ' >- logx oO Ioga' logx -^ 



(giacché è loga>.o); e questa relazione ^. °^ " >• ??z equivale 



alla r^^>"z- Dunque ogniqualvolta sia j;>-/3, sarà anco 



j— -, >-w. Dunque ec. 



i4- Il teorema del 5- i' ha luogo anche quando a sia 

 minore di 2, e maggiore di i. 



Infatti, indicata con y quella quantità che soddisfa la equa- 

 zione «'"=;)', e con Logj il logaritmo di y preso nel sistema 

 avente per base a, avremo a: = Logy; e perciò 



a* y 



X Logjy' 

 Ora, per ciò che dimostrai nel paragrafo precedente, esiste una 

 costante positiva ^ tale che riesce ■r^—~^m purché sia j>-/3. 



Pertanto sarà anche — >.;7t, purché sia a""^^, vale a dire, 



purché sia x^t^. Dunque ec. 



i5. Da quanto si è detto in questi quattro ultimi paragrafi 



ne segue che le due funzioni —, ,— — convergono verso -i-co 



al convergere della x verso H-co ogniqualvolta a e la base 

 del sistema logaritmico sieno quantità maggiori dell' unità. 



La dimostrazione data è indipendente dal calcolo differen- 

 ziale. Lo scopo si otterrà con maggior brevità appoggiandosi al 

 teorema che « qualora la derivata ennesima di una funzione 



