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iche pur quattro volte si contiene nell' intera superficie della 

 Crociera. Per trovarne la misura conteremo le x dal centro A 

 dell' ellisse OME , per cosi esprimere 1' equazione di questa 



curva con la forma consueta — -f- — = i ; e supponendo de- 

 ce^ b"" 



scritto il quadrante circolare 0;j-a col centro A e col raggio AO=a, 

 chiameremo s l'arco ellittico ?M contato, secondo l'uso^ dal- 

 l' estremo ? del semiasse minore A|i=<J, e <p V angolo '^.A;-!- ossia 

 V ampiezza del medesimo, corrispondenti amcndue ad AP:=r. 

 In lai modo essendo AP=A[J.seH AiJ-P, cioè a dire .r:=a sen ^, 

 r equazione dell' ellisse OM? ci darà z=.b cos <p, ed avremo 



ds = 1"^ dx^- -^-dz^ =d(p /'^a' {a^ —ó^) sen'^ cp, 



più semplicemente ds=adcp ^ i — T^ sen^ ?, supponendo 

 rt^ — b' = a"' T ' 



In questa espressione di ds ^ -^ e una frazione esprimente 

 il rapporto della eccentricità al semiasse maggiore , e riguar- 

 data come seno dì un angolo, quest' angolo è ciò che Legendre 

 nelle sue Tavole ellittiche chiama modulo della ellisse, e che 

 al pari d^W wnpiezza <p varia di grado in grado tra i limiti o"e 90°. 



Or r elemento delia porzione di superficie in parola aven- 

 do per misura il prodotto della l'etta LP pel differenziale dell' ar- 

 co pM, la sua espressione analitica è da principio ^(/*; ma es- 

 sendo PO=AO — AP^o — T, e PL=y, la proporzione 



PO: PL: : AO; AD ci dà y=ài<i — ^), ed abbiamo veduto che 

 x=a sen (p; dunque y = b{i — senip), e l'elemento 



yds= ab (i — sen? ) d? A^i — T' sen^ 9. 



Da un' altra parte gì' infiniti elementi consimili , e formanti 

 insieme la porzione di cui è parola , essendo compresi tra i pun- 

 ii E ed dell'arco EMO, i valori estremi di p in parli della 



