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 Misura della superficie. 



12. Consideriamo da principio la porzione di superficie pro- 

 iettala ATrlicalmcnte nell' arco ellittico OE, ed orizzontalmente 

 nel triangolo OoII. Ponendo 1' arco 0M= s , e 1' angolo aA;j-:=(p, 

 avremo z = b scnqj ^ donde a"=fl cos(p in virtù della equazione 

 dell' arco OM. Dunque 



(Is = f^dx^ -\- dz-" =. dtp /^a' sen' 9 .4- b"^ cos^ 9= 



d9 /^«^ sen* <i-\-b'^ {\ — sen'' 9) == d9 /^ó- — {b'^ —a') sen« 9, 



e posto /''^^^ — o-^ ■=.b^ affinchè y dinoti al solilo il rapporto 

 della eccenlricilà al semiasse maggiore , vero il seno del 



modulo , sarà ds = b^ /'^ i — "f sen' 9. Or 1' elemento della 

 porzione presa a considerare avendo per misura il prodotto yds^ 

 e la proporzione OP : PL : : OA ; AD dandoci 



y = a{fl X)= b ( I C0S9 ), 



sarà ydsz^b''- d9 ( i — cos9 ) f^i —T sen' 9 , e 1' integrale di 

 questa espressione, valutalo dal valore di p corrispondente al 

 punto fino a quello corrispondente al punto E , cioè a di- 



z^ =— ( 2ax — x^ ), 



che rapprcsonlata un altra ellisse avente per semiassi a e e. Dunque le due 

 ellissi , o pure il cercliio e la ellisse a cui appartengono i due archi goti- 

 ci anno sempre la stessa altezza e; e l'altezza della Crociera^ trovata col 



porre x^ ^ '^j o pwe y=- b, è sempre il prodotto di quell'altezza e per - yr, 



cioè pel seno di 60 gradi. E se <? supera ciascun lato della pianta, torna 



osservabile che le amjìiezze dei due archi dliltici di ciascun Gotico siano 



di 60 gradi , come nel caso degli archi circolari. 



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