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Ora con qualche trasformazione il primo membro di questa e- 

 quazione può molto semplificarsi , riducendolo ad essere tutto divi- 

 sibile pel trinomio 



ed anche ad un quadrato perfetto : e la equazione può abbassarsi al 

 primo grado. 



Per ciò fare ricordiamoci (ii) che 



(#.'-/7.)/^+(/.-P/07-(/-/?/'>=o, 



terza delle equazioni (X) , esprime che il punto delle coordinate 

 p,q,r, giace sul piano tangente al cono direttore (n), il quale 

 tocca la curva direttrice delle equazioni (I) nel punto delle Eoordi- 

 nate /3,/(i3),/x(/2). 



E ne conchiuderemo che la equazione 



(xiJ) ( j;'-/yo^+(/.-p/x')/-(/-^/') /■.=o 



debbe avverarsi : e quindi del pari tutte quelle che possono dedursi 

 da questa. 



Ciò posto nella (XI) facciamo in primo i quadrati accennati dei 

 tre binomii che costituiscono il coefficiente di p' ; ed otterremo sei 

 termini al quadrato che possono ridursi a tre , ed i doppii prodotti 

 dei termini che costituiscono ciascun binomio che possono ridursi ai 

 tre termini seguenti 



{f-Pf )J\x ( iff^'-fL)PML-PL')f) ; 



in ciascuno dei quali tre termini potremo sostituire in vece del se- 

 condo fattore il valore che può cavarsene dalla detta equazione che 

 debbo avverarsi : ed olferremo dei scritti tre termini che il primo 

 si trasforma in f^.'— //,)' /3^, il secondo si trasforma in (yi—/?/', ')'/', 

 ed il terzo si trasforma in (/— /S/'j^/i'- Ed è cosi che il coefiiciente 

 d'i p'> , diventa il prodotto di !^^-{-f'-\~fi', pel detto trinomio : os- 



