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sulle Superficie Anulari. 



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la relazione 



<-' VG'(|)')'+(.-(^)7h-(k(ì)'J 



49. Abbiamo veduto (47) che la funzione «fC^:,/, 2) si ottiene 

 dalla risoluzione della 



(/;'-/y:)-v+(/,-/3//)y-(/-^/')^=o, 



rispetto a /3 ; ma dopo avervi messo per y", y, le funzioni effettive 

 che esse sono della j3. Ora ritenghiamo rimesso in questa equazione 

 il valore 9 (x,j-, s) ottenutone per /J. Per una tal sostituzione (L Vili) 

 le f, f, divenleranno <Jf,(x,/,z), <^2(^a:,f,z), ed essa equazione sarà 

 verificata. Avrà luogo dunque la equazione di condizione 



(LXI) ^Ì\)^+^'{^^)^+Av^^=' 



che sarà identica. E però in generale delle cinque funzioni ?,<?',i'?ji?3,i?4, 

 quattro sono arbitrarie, ovvero possono determinarsi dalla definizio- 

 ne dell' anulare di quinta classe particolare , tra le quali sono sem- 

 pre le 93 ) 94 ; e l'altra dipende dalle altre due di quelle quattro: 

 e di esse le 93 » 94 sono arbitrarie ed indipendenti , e le altre tre 

 9. 9i ) 92 , sono ligate tra loro dalla relazione (LXI), onde due sole 

 di esse sono arbitrarie. 



Riavvicinando dunque tutto ciò, a quel che dicemmo ai N.' /^t, 

 42, 4'iì couchiuderemo il seguente 



Teorema. La espressione analitica la più generale delle anu- 

 lari di Quinta Classe si presenta composta da sette funzioni delle 

 tre coordinate , delle quali sei sono arbitrarie : e queste sei pos- 

 sono sempre ridursi a quattro. Però la pia semplice espressione 

 deir anulare di quinta classe ha quattro funzioni arbitrarie. 



50. Per abbracciare implicitamente la relazione (LXI), che e- 

 siste Ira le tre funzioni 9, 9i 1 9» > basterebbe per essa eliminare 

 dalla espressione (LIX) la funzione 9. Allora essa espressione con- 

 terrebbe le sole funzioni arbitrarie 9i i 92 1 93 , 94 , tutte iudipea- 



