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•nJ' l'angolo da determinarsi, che il nuovo asse delle v fa con quello 

 delle s , ossia col primitivo delle x , ed anche che il nuovo delle 

 u fa coir altro delle t , ossia col primitivo delle z. 



Fatte le sostituzioni, otterremo nella trasformata, che il coeffi- 

 ciente di VII è 2ml(seu.^-\' — cos/\^). Dunque determineremo l'an- 

 golo ^{/ ponendo 



sen.''^ — cos."J,=o. Onde sen.4--=cos.4=:\/|- , e ■i=i5''. 



Quindi la equazione della superficie riferita ai suoi assi principali è 

 ( come si ottiene per lo appunto facendo nell' ultima detta trasfoF- 

 iiiata 4=45°) 



[mi — a]v" — ay- — (mt-\-a)u^z=:A 



T-i • {i-\-e'^)a . , a , . ,, 



l'acclamo ora m= , cioè m> — oltenghiamo 1 equazio- 

 ne precedente trasformata nella 



eav' — fly'— (2-|-e')z^'=y/. 

 Facciamo invece m= -, , cioè 7?j<— la medesima equa- 



zione si trasforma nell' altra 



e'uv' — ay' — (2-|-e°)?i-:=^^(i-f-e'). 



L'anulare generale dunque non può mai appartenere ad una 

 ellissoide ; perocché non mai la equazione sua può avere tutti i suoi 

 termini positivi ; ma apparterrà o ad una Iperboloide ; o ad una 

 Paraboloide , come già abbifim veduto. 



La Iperboloide sarà a due foglie se la >^ è negativa ; sarà ad 

 ima foglia se la ^^ è positiva. Ma noi non ci fermeremo ulterior- 

 mente a vedere quando appartenga all' una piuttosto che all' altra di 

 coteste superficie , ne a quale Paraboloide possa appartenere. 



Solo conchiuderemo il seguente 



Teorema. Nelle Iperboloidi e nelle Paraboloidi ewi una zo- 

 na , nella quale possono descrìversi una infinità di circonferenze 

 di circolo i piani delle quali toccano tutti un certo dato cono 

 retto , e le quali hanno sempre un punto in comune colla cir- 

 conferenza base del cono , ed il centro sur una data curva 

 descritta sur esso medesimo cono. 



