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come assumemmo al N. 3 ; ma avesse invece le due 



( z=a. 

 ove a e una costante arbitraria. Che anzi potremmo sempre cosi 

 supporre che fossero le equazioni di essa curva direttrice; perocché 

 date le equazioni di una curva a doppia curvatura , direttrice di 

 un cono , può sempre ridursi questo medesimo ad avere per diret- 

 trice una curva piana , e di piano parallelo al coordinato xy. Po- 

 tremmo dunque semplificare la ( CXLI ) facendovi uguale zero le 

 derivate della «j: , od anche della <?, ; ma ciò non faremo in grazia 

 di simmetria. 



Perlauto conchiuderemo il 



Teorema. La espressione generalissima delle Anulari di Set- 

 tima Classe si presenta con cinque funzioni delle tre coordinate, 

 delle quali quattro sono arbitrarie : e di queste quattro quantità 

 arbitrarie , una potrebbe essere anche costante arbitraria. 



II. 



i53. Supponiamo per un momento che la ^j sia costante arbi- 

 traria. La funzione ?, , perchè arbitraria, potrà avere tulle le forme 

 immaginabili diverse. 



Abbia una individuala di queste forme. Ritenga sempre essa 

 individuata forma ; e restino di forma arbitraria le oi, ■, "ii. 



La (CXLI) rappresenterà anulari diverse tante di natura , per 

 quante possono essere diverse queste forme delle ^s ■> 94 ", ma tutte 

 avranno certe proprietà comuni , implicitamente espresse dalla fun- 

 zione <?i , la quale ritiene per tutte una sola e medesima forma : e 

 tutte quelle per le quali la <?i ritiene la medesima forma , possiam 

 dire appartenere tutte ad un medesimo gruppo. 



Le anulari tutte di sesta classe dunque saranno di tanti gruppi 

 per quanto può essere diversa di forma la funzione 9i. Ma quando 

 la 9= è costante , come abbiam supposto , e come può sempre sup- 

 porsi (i5i) , la <?. esprime essa sola la natura della curva diret- 

 trice del cono direttore , e perciò la natura di questo medesimo cono. 



