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Ma D = aK , come risulta dalla regola della moiliplicaziorie 

 dei delerminanli. Dunque questa equazione è identica con la (o). 

 Conseguila da ciò, che i punti P', P percorrono senipre una slessa 

 e sola superficie di 4." ordine o che i piani polari di P' si rife- 

 riscano alle superfìcie S , S , S", S", ovvero che si riferiscano 

 alle superfìcie 0, 0', 0", 0'" (a). Supponendo poi che = 0, 

 0' =0, 0", =0, 0"' = O rappresentino superflcie di 2/ classe, 

 si ha quest' altro teorema : i piani F, P inviluppano sempre 

 una stessa e sola superfìcie di quarta classe, tanto se i poli di P 

 si determinano rispetto alle superfìcie S , S , S", S", quanto se 

 si determinano rispetto alle superfìcie 0, 0', 0^', 0'". 



» Se gli elementi principali del determinante K si suppon- 

 gono = 0, le quattro equazioni 0=0, 0' =0, 0'' = 0, 0"'' = 

 rappresentano i quattro sistemi di superflcie di 2." ordine che 

 possono farsi passare per quattro distinti sistemi di sette pun- 

 ti, o pure i quattro sistemi di superflcie di 2," classe che pos- 

 sono farsi toccare da quattro distinti sistemi dì sette piani. 

 Dunque — 1." Se scegìiesi a piacere una superfìcie di 2,° ordine 

 da ciascuno dei quattro sistemi, che possano farsi passare per quat- 

 tro distinti sistemi di 1 punti , ed i quattro piani polari di un 

 punto P' relativi alle quattro dette superfìcie si tagliano in un punto 

 P, la superfìcie di 4." grado che descrivono questi due punii è sem- 

 pre una e la stessa. —2." Seda ciascuno de' quattro sistemi delle 

 superfìcie di 2.* classe, che toccano quattro distinti sistemi di 7 

 piani, si sceglie a piacimento una superfìcie, ed i poli di un piano 

 P' relativi a queste quattro superfìcie sono sempre in un sol piano 

 P, i due piani P, P inviluppano la stessa superfìcie di 4.^ classe. 



» Sia X la curva di penetrazione delle due superficie 5, 

 S'; p, p' , p" , p'" i vertici dei quattro coni di 2.° grado che 

 possono farsi passare per X; ed 



(a) Un teorema analogo è stato trovalo dal signor Hesse rispetto al punto 

 d' intersezione delle polari di tre coniche ed al polo comune di queste tre ret- 

 te. V. la sua Memoria Ueber die Wendepuncte der Curven dritten Ordnung. 



