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duca in luogo di y' un'altra quantità h; e perciò 

 avendo luogo del pari le eguaglianze (6), si argomeu- 

 lerà del pari che l'intersezione nel punto singolare, 

 di cui si tratta, corrisponde ad un numero m -\- 1 di 

 punti di semplice segamento, che sarà pari o dispari 

 col grado dell'equazione determinante y' 



(7) J: -!-(„,-[- d)( ^ / 4-... 



•••+(57^J'-"'+^=«' 



e quindi pari o dispari col numero delle radici reali 

 di questa equazione. 



Potrebbe altresì la retta (2) toccare un ramo della 

 curva nel detto punto singolare con un contatto del- 

 l'ordine r. Allora avendosi 



y' = h, j"=rO,....y(0=0, 

 verranno soddisfatte da y' = h l'equazione (7) e le 

 r — 1 sue derivate consecutive , le quali si riducono 

 a forma consimile, e risultano dalla (7) col mutarvi 

 in in in -\- i ^ in -{- 2 ^ . . . m -\- r 1 . Conseguente- 

 mente le espressioni di (f) (a;„, y„), (p (^i? Ji) si de- 

 durrebbero dalle ( 6 ) , mutandovi m in in -\- r, ed 

 avranno segni diversi , od il medesimo segno , secon- 

 dochè m -\- r sia pari o dispari. 



Questi cenui sono sufficienti a provare le Proposi- 

 zioni S.'' 3." 5.^ 9.' e dO." Per rendere ragione delle 

 Pr. 4." 6." e 7.^ basta osservare, che se il prodotto di 

 due funzioni di x, y offre risultati dello stesso segno 

 per le sostituzioni di oc^^y^^ e di x^, j,, nessuno dei 



