tooianoj la quale di falli apparisce essersi da Newton raccoha per Indu- 

 zloue nel caso delle potenze intere; dal qual caso subito senz'altro la 

 tradusse al caso dell'esponente rotto. Ne quella formola generò rriai so- 

 spetto; tuttoché generalmente per luti' 1 casi anche dell'esponente imma- 

 ginario, non fosse che assai tardi dimostrata. E nelle serie l'induzione 

 non tanto conchiude dall'osservazione su i casi, pariicolari, o su i lerniini 

 successivi, quanto dall' intendere non esservi cosa che possa alterarne l'an- 

 damento : tutto che possa in molli casi essere interrotlaj ossia terminala 

 nel suo corso; come avviene tutte le volle, che i coefficienti del termini, 

 e i termini stessi divenissero o zero, o infiniti; lo che per certo è fa- 

 cile a conoscersi. Vi è nulladimeno qualche caso in cui la legge sco- 

 perta viene in qualche termine interrotta; ma di cui egualmente se ne 



I — ix — a * 



intende il perchè. Lo sviluppo per esempio della frazione ^ 



nella serie i -|- 5af -|- 4a?' H- 62^ -|- (^xi ■+- i6a;5 -f- aGa?^ ec. che dar do- 

 vrebbe, se fosse una frazione propria, una serie ricorrente , offre una 

 eccezione nel quarto termine alla legge, per cui ogni coefficiente è la 

 somma di due precedenti. Ma si vede che ciò nasce perchè la parte 

 intiera di quella frazione impropria entra nella serie, e interrompe, come 

 dice Eulero, la legge della progressione nei termini ch'ella accresce, o 

 diminuisce. Ma siffatte ricerche troppo mi allontanerebbero dal mio sog- 

 getto. Non posso per altro non fare qualche cenno della celebre serie 

 che serve di base a tutta la bellissima teoria delle funzioni analitiche ; 

 la quale fu attaccata dall' ingegnosissimo Wronski. Veramente non so in- 

 tendere, come non debba essere vero, quello che già per induzione si 

 trovò esserlo, cioè che lo sviluppo di (ji{x) accresciuta dell'aumento in- 

 determinato i cioè di ,p(ar-f-*) non debba essere ^(x) -{-pi -{-qi' -{- ri^ 

 ec. secondo le potenze ascendenti intere e positive di i, sino che x, 

 ed i restino assolutamente indeterminate? e come ciò non si possa di- 

 mostrare? Che debbano aversi nello sviluppo tutte le potenze di /, è evi- 

 dente dal potere esservi ad una ad una tutte, e dal non esservi ragione 

 di escluderne una, piuiiosto che qualunque altra, sino che stassi nella 

 assoluta indeterminazione. Che poi non possan esser negative nasce dalla 

 slessa indeterminazione ; la quale sarebbe lolla rispello alla x, nel caso 

 di i eguale a zero, lo che darebbe a ,p(af)un valore infinito, e perciò ad x 

 uu vAlore deteriniuaio. Che se poi fossero le dette potenze di esponente 



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