DEI TRIANGOLI SFERICI 13 



NOTA 



Qualora per oggetto d'istruzione vorrebbesi una dimostrazione del teorema del Lc- 

 gendro diversa di quelle conosciute ed indipendente dal calcolo differenziale, ecco l'an- 

 damento da seguirsi : 



Stabilite lo relazioni (1) e ('i) come nel § 2 si sviluppino i seni contenuti nel se- 

 condo membro della (2) trascurando le potenze di « superiori alla terza, e si ha 



m^vìt -~- X « '■' 1 — 



1 \ 2.3j\ 2. 3 

 tan' -j4 := -, s -, 



['^:tj^ ''"['- -271 



ovvero 



2 77\ 2. 3 A 2. 3 Tv 2. 3J -^ i 2. 3^ 



Sviluppate le potenze — 1 degli ultimi due fattori, effettuate le moltiplicazioni in- 

 dicate, omettendo i termini dipendenti dalla quarta potenza di », si ricava 



tan' - A : 



P 1 



1 — ( m' -|- 71- — p' — g' ' 



2. 3 



espressione esatta fino alle quantità di quan'ordiue esclusivamente ; e per essere 

 »i'4-n' — p' — y'=— 2 6c ( § 4) ne risulta 



Siano ora A', B', C gli angoli di un triangolo rettilineo avente i lati di eguale 

 lunghezza a quei del proposto triangolo sferico, e rispettivamente opposti ad a, b, e. 

 Poiché il triangolo sferico si suppone pochissimo curvo A de»e differire poco da A' , 

 onde posto A^ziA'-{-x,x sarà una quantità piccolissima. Per una proprietà del trian- 

 golo rettilineo si ha 



, 1 ., m n 



tan' - 4 = -, 



a pq' 



così alla relazione (V) può darsi la forma 



tan'|(i' + ;r) = tan'lA'X(l-f- \bc^'); 



ed essendo 



tan - A ' + tan — ar 1 -f- cot - 4' tan - x 



tao - (A 4-0?)= j j— = tan - A ~ —, 



1 — lan - 4' tan - X 1 — tan - A' tan - x 



