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E facile dimostrare che la MR tocca uel punto N la delta liuea cercata, 

 cioè che questa è l'inviluppo della famiglia di rette a cui 31 R appartiene. In- 

 fatti differenziando la (1) otteniamo 



iY—dj={àX—ix) tg x-\-(X — x) d tg oc; 

 e poiché dalla (3) risulta 



dj' =^ dx tang oc — (^Y — :<;) d tg a, 

 ne segue 



(6) dF=dJrtga; 

 lo che vuol dire che M R è tangente alla curva suddetta. 



Ci serviremo delle formole (3) (4) (5) per dedurre i raggi delle sviluppale 

 ordinarie ed imperfette, e le loro equazioni. Si potrà pure iu altra occasione de- 

 durne i raggi delle caustiche per riflessione e per rifrazione. 



2. 



La teorica delle sviluppate imperfette, cosi denominate dal Fontenelle, è 

 stata abbozzata la prima volta dal Réaumur nelle Memorie dell'Accademia delle 

 Scienze di Parigi per l'anno 1709. Un secolo appresso il Lancret trattò a foudo 

 di queste curve anco nello spazio, sotto il nome di svìluppoidi, uel Tomo II. 

 delle Memorie presentate da' Dotti stranieri all'Istituto di Francia. Si generano 

 le sviluppate imperfette o Reomuriane col supporre 31 R normale alla curva pro- 

 posta. Sia L3I normale alla data curva, si avrà l'angolo L3IR^^ e costante, 



tg3ILX = - ^, 



— tgc— 1 



tsoc = ig(c + 3ILX) = ^ , 



ax 



dy 



, ax 

 d tg flC =z — . 



Quindi se denotiamo con s l'arco della curva data, per cui 

 i s zz: \/' (i x' -\- dj'°), le formole (3) (4) (5) ci somministrano 



(7) R=- 



i\s cos e 



dx a - — 

 ax 



/dy dx \ 



(8) X=X+R[£cosc + -s.nc), 



