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l'ordine iu cui i due angoli souo disposti. Siffatta coiucidenza veuue già notala 

 dal Laucret. ma nel caso particolare in cui uno de' due angoli sia nullo. Dal 

 Teorema testé dimostrato per le evolute seconde è facile arguire che eziandio 

 l'evoluta ad angolo C3 dell'evoluta seconda ad angoli e,, c^ rimane la stessa, 

 comunque si permutino fra loro gli angoli suddetti, attesoché è permesso di al- 

 ternare due qualunque di essi qualora sieno consecutivi. Per la stessa ragione 

 si troverà in generale essere l'evoluta (M)esima ad angoli c,.^ c^, c„ l'iden- 

 tica curva, comunque venga invertito l'ordine in cui gli angoli si succedono. 



4. 



Trattasi adesso di esprimere l'arco S dell'evoluta ad angolo e per mezzo 

 dell'arco s della data curva e del raggio dell'evoluta medesima. A tal uopo dif- 

 ferenziamo le relazioni 



X-=^x — iJ cos ac, F = j- — i» sen a 



esibite dalla Figura I., ovvero dalle formole (3) (4) (5) : avremo 



à.Xz=:àx — di? cos x -\- R àx sen x 



d y =: àj — di? sen x — R àx cos x. 



Prendendo la somma de' quadrati, ed avuto riguardo alla (5),^ ricavasi 



dS'r^dj-'-l-di?' — (da; sen x — àj cos x)' — 2 di? (àj sen x -\- ix cos a) 



=r di?" — 2 di? {àj sen x -{- Ax cos x) -f- (dj- sen x-\- àx cos a)': 

 ed estraendo la radice si ottiene 



(10) d 5 =r d i? ^ — (d^ sen %-\- àx cos x). 

 Qualora fosse Ay sen x-\- Ax cos x una differenziale esatta, la (10) si in- 

 tegrerebbe immediatamente, e si avrebbe la rettificazione dell'arco S dipenden- 

 te dall'integrale di detta formola. Riguardando x come funzione delle sole x^f, 

 questa formola è una differenziale esatta, se si verifichi la condizione 



cioè qualora sia 



j — or tg a = F {x). 



Abbiamo allora 



da 



Ay=:zAxisx-\-x — — - + F' (a) d a ; 



cos a 



e sostituendo nella (10) si ottiene mercè l'integrazione 



(11) S—R—— /"F(«) sen ad«-|-i 



^ ' cos a J ^ ' 



