IG'2 



la quale equazione siguifica che l'augolo delle rispettive tauoeuii alle due cur- 

 ve in M, M' è retto, cioè che il raggio della sviluppata è sempre normale alia 

 sviluppante. 



Suppongasi in primo luogo data l'equazione dell'evoluta F (x'.j) =: o. 

 Qualora questa curva sia rettificabile, si avrà l'equazione finita dell'evolvente 

 coU'elimiuazione di x'.)'' fra la data equazione e le (IT). In caso diverso se ne 

 otterrà l'equazione differenziale dividendo l'uua per l'altra le ('IT), donde si trae 



y' — y '' y' 



■ ^ -^ x — X d x' ' 



ed eliminando x'.j' fra la data equazione e le (19) (20). 



Se l'ottenuta equazione differenziale si sapesse integrare, si avrebbe la ret- 

 tificazione della proposta curva, e viceversa. E manifesto che il suo integrale 

 dovrà coincidere coli' equazione finita dell'evolvente dianzi assegnata nell'ipo- 

 tesi dell'evoluta rettificabile. 



Cosi ad esemplo se la curva ji 31' fosse il circolo rappresentalo da 



2 2 



X + j'' =3 n'. 



poiché il suo arco 5' ^ « (are tg —, -|- cost.) viene espresso per .r . y in ter- 

 mini finiti, si avrebbe alla prima maniera per equazione fiuila (hlla sua svi- 

 luppante 



2 2 2 2 



^1 .X(^^"^.> l\ .^Z"^"^-) 



are Ig - + cost. =z \/ ( ~ 1 j — are tg \/ ( ;7— — 1 



a a 



ossia introducendovi le coordinate polari u z=i\/ \x J^ y \^ z = are tg — , 



3+cost. = ^/(^— — 1J— are tg l/(^— — Ij, 



a a 



la quale equazione polare si può dedurre quasi intuitivamente dalla descrizione 

 della sviluppante medesima. 



Ricavando invece nell'altro modo l'equazione differenziale della curva ri- 

 chiesta, troviamo 



a' {àx' + dj=) == ( rdj + xdxy, 



il cui integrale è appunto la precedente equazione finita. 



