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7. 



Proponiamoci a viceuda di determinare il raggio e l'equazione della svilup- 

 pata, essendo data la sviluppante. 



Sia L (Fig. III.) il punto d'incontro coli' asse OX della M M' normale al- 

 l'evolvente J M. Si chiami (p l'angolo 31 LO, e p il raggio M M' dell'evoluta. 

 Avremo 



(21) sen(f)=jj, cos(p=-jy, p^s; 



e poiché 



(22) (p' = (p + 90°, 

 donde 



sen (p' = cos cp, cos (p= — sen (p, 



ne consegue 



d x' d y e! y' d x 



^ ' ds' di ' di' di 



Effettuate le relative sostituzioni nelle (1 8), risulta 



dx dy 



(24) p=--i;. /' = ,^r^- 



d -^ d 



di di 



Di più, differenziando le (21) abbiamo 

 d (p cos (p = d jj, 

 e quindi, attese le (21) (24), emerge 



a(pcos(p = u-^ — , dcp sen !p = ^ d -j — ; 



di 

 Siccome poi ricavasi ancora dalle precedenti 



dx'.dy dy,dx dxdy 



(26) d<p=— —- d ^ = /- d -. T-d/ 



^ ■' ^ di' dx di di di di 



2 2 2 



[ dx , dy \ V \i\ X ^ d y —d s ) 



= l/('ld7+^T7) = cfT^ 



otterremo dalla (25) le varie formole esprimenti il richiesto raggio di curvatura. 

 Quanto alle coordinate a;', _^' dell' evoluta medesima, dalle (IT) (23) ri- 

 caviamo 



dy dy dx dx 



(27) a.'=x + p-- = x-f-j-, y^y—p—^y—^- 



