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Si avrà pure uua relazione fra ^,,7',' ^-.Jì elimiuando s_ fra le (35). Queste 

 due relazioni, combinate coll'equazione della data linea ^'31' F (x . r) = o. ci 

 daranno, mercè l'eliminazione di x^,f^^ l'equazione differenziale di primo or- 

 dine della linea A M. Se la curva A' M' fosse rettificabile, ovvero se le funzioni 

 ^, ct^ non involgessero 5^ si avrebbe l'equazione finita della ^M elimiuando 

 .r , _>-^ fra le (35) e F (a?,, j ) = o. 



11. 



La soluzione del Problema reciproco, cioè data l'evolvente AM. determi- 

 nare il raggio 31 M' e l'equazione della nuova evoluta A' 31'. esige che sieno 

 specificate le funzioni w , ^. Lungo sarebbe e soverchio l'occuparsi della discus- 

 sione di que' casi in cui si può risolvere la questione mediante equazioni finite. 

 Si osservi che qualora 31 31' e l'angolo H 31 K vengano espressi in funzione 

 delle quantità competenti alla curva A 31^ si determina collo stesso procedi- 

 mento analitico la curva A' 31' partendo dalle equazioni 



l-Ax Ay \ 



X, X ^^L [ -r— COS 0) + -r- sen £t) . 



' ^ Vili as J ' 



J, — J= ? [j: COS 0) — ^ sen a^j, 



le quali sono appunto le (35), ove all'angolo cp^ + m siasi sostituito l'eguale 

 (p 4" w (41). Havvi infatti reciprocità fra le due linee ^7 il/, A 31'. ^ cosicché l'una 

 è evolvente dell'altra, e viceversa, secondochè si mutano i dati della questione, 

 e si alterna la legge dello sviluppo. 



Nelle applicazioni delle proposte fórmole può accailere che iu luoj;o delle 

 ^, to, siano date le funzioni ^ sen cd= ^w, ^ cos w = v. Allora sarà più comodo 

 il partire dalle equazioni 



ày, à:L- J)-, tir 



X — X =^ u r |-VT— ^. r — y=v--— — U -r^ . 



' As, As, ' -^ ' -' As, " ,1 j 1 



che subentrano alle (35), e da cui si ritrae con metodo analogo 



Ay Ax, d.r d.r, vdffl, + flj[i 



seu (o) — cti ) : 



d f d J d f d f As 



d.r d.f, Ay Ay, uAp — du + di 



(43) cos (tri — (tì)<= —- — 4- -— -— = j . 



d.?' = (v d(p^ + d//)- -f (/jid(p, — d V + d.$J^ 

 La teorica dianzi abbozzata può prestarsi alla soluzione di parecchi Pro- 

 blemi relativi alla genesi delle curve. Uno di questi sarebbe la determinazione 



