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e (juindi colla eliminazione di cp si dedurrà l'equazione polare della richiesta 

 curva. Si avrebbe infine pel suo arco 



J cosf J sen f 



12. 



Giova ancora assegnare (Fig. IV.) il differenziale dell'area AA'M'M com- 

 presa fra le due curve , il raggio iniziale A A\ ed un altro raggio qualunque 

 M M' . Chiamando 5 quest'area, e T, T le aree racchiuse dall'asse OX. dagli 

 archi rispettivi -(^ il/, A'M\ e dalle ordinate dei loro estremi, surrogando poi 

 al trapezio indeterminato, che ha per lati paralleli le ordinate di A^ A\^ una 

 coslante arbitraria., risulta 



5= ', ( ;; + j) [x^ —x) + T—T — cost. 



Quindi differenziando si ottiene, poiché d T=jàx^ d T = j- d.r , 

 dS=v (.r — x) (dj, + dj) — -V (j, — j) (d:r, + àx); 

 e mercè le sostituzioni indicate dalle (35) (36) si raccoglie pure, dopo alcune 

 ovvie riduzioni, 



(46) dS=?di^senM + f ^=(d(p, + dco,); 

 ovvero, attesa la prima delle (40), 



dS = i^di sen co — -v ?* (dcp -f dw ). 

 La media aritmetica delle due precedenti ci rende 



(47) dS=i- ^ (d 5 sen co -f di sen co ); 



formola che si può facilmente stabilire colla pratica degli infinitesimi. 



Supposta AM una trocoide, si avrebbe dalla (46), attese le relazioni del § 1 1, 



(48) d5 = ^di — 1 ^M(j) = ^^ (d«— ; d(p)==-; ì^^ (du — di>). 



Qualunque sia la A M, se prendiamo a considerare la curva dedotta dallo 

 sviluppo di A M' con un raggio a- t,., e collo stesso angolo co^ che ha servito a ge- 

 nerare la A M^ e diciamo s il suo arco, ed co l'angolo che forma il raggio de- 

 scrivente colla curva medesima, si avrebbe di conformità alla prima delle i^4Uj 



d s^ sen co =d5 senco^-|-4-i|(d(p-|-dco), 



e conseguentemente dalla (46) ricaviamo 



(49) d5=^di^ sen co . 



