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Per le curve descritte col raggio ^ = a, e l'angolo w_ = 90° — e costanti , 

 si ottiene dalla (46) 



d 5 = rt d i cos e + ' a' d (p^, 

 e integrando 



(58) 5= «^, cos e + J^ rt'(p^ + cosi. ; 

 donde si discerné che « l'area S eguaglia un parallelogrammo che La per lati il 

 » raggio a e l'arco abbracciato s , e per angolo compreso 90° — e , più un set- 

 » tore di cerchio descritto col raggio a, e corrispondente all'angolo formato dalle 

 » normali a' punti estremi dell'arco s. » 



Se e = 90°, il raggio a sarebbe tangente alla data curva , e il valore del- 

 l'area 5 rimane uguale al solo settore di cerchio. 



Se e =0, la curva descritta è parallela alla data, e il parallelogrammo pre-" 

 lato diviene rettangolo. In quest'ultimo caso l'integrazione delle (47) (49) ci 

 porge 



S^ 4^ a {s -\- s^) -{- cost. =: « .y,, + cosi., 

 noti valori dell'area S dovuti a Leibnitz. 



Non occorre diffondersi in ulteriori applicazioni delle formole esposte ai 

 §§ 10. 12., di cui sarebbe facile e soverchio moltiplicare gli esempii. 



ARTICOLO III. 



Determinazione dei raggi e degli archi delle evolute ed evolventi (u)esime 

 ad angoli qualunque d' una proposta curva. 



13. 



Data una curva, di cui al solito sia s l'arco, <p l'angolo d'inclinazione della 

 normale all'asse delle ascisse, ed r il raggio dell'evoluta ad angolo e, si prenda 

 a considerare la sua sviluppata (n)esima ad angoli qualunque C, e,, Cj, .. .. c„_,5 

 e si chiami s„ l'arco di questa evoluta («)esima, ed r„ il raggio della sua svilup- 

 pata ad angolo c„, la quale sarebbe l'evoluta (n •\- 1)esima ad angoli 



e, e,, Cj, c„ della proposta. Attribuendo ad n ì successivi valori 1, 2, 3...., 



si trova a cagione delle (7) (22) (25) 



(59) r=z -r-, cos c. r = — cos e. ''» = — cos c„; 



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p iu virtù della fi 2) si ha quest'altra serie di eguaglianze, nelle quali le costauti 

 arbitrarie s'intendono aggiunte agli archi, le cui origini sono indeterminate 



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