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 regola, cbe all'annullarsi delle rispettive differenze fra Ig e e f, , ?j , . . . . <„ Il 



gruppo delle esponenziali ^ C^ e '' viene surrogato dal gruppo 



P- ' 



p= n + i 



e ^ C (p''~\ Questa osservazione può servir di riprova per con- 



p=i 



fermare l'esattezza delle riduzioni da cui emersero le dette formole. 



ARTICOLO IV. 



Investigazione delle curve che sono simili alle loro evolute {a)esime 

 ad angolo qualunque. 



20. 



Dopocliè l'Ugenio, intento a far descrivere ad un grave appeso ad un filo 

 flessibile la curva isocrona nel vuoto, cioè la cicloide, trovò (De horologio oscil- 

 latorio, Pars III. Prop. VI.) che questa curva è uguale alla sua evoluta; anche 

 Giacomo BernouUi {Atti di Lipsia, Maggio 1692) riconobbe che la logaritmica 

 spirale o loxodromica piana è sempre simile alla sua sviluppata, ed inoltre 

 uguale alla medesima se l'angolo costante formato colla curva dal raggio vet- 

 tore emanalo dal polo sia uguale alla metà d'uu retto; e il de Tschirnhaus 

 s'avvide {Atti di Lipsia, Aprile 1690) eh' è pur simile alla propria evoluta la 

 catacaustica del circolo a raggi incidenti paralleli, la quale non è che una spe- 

 ciale epicicloide. Si cercò poscia dai Geometri di scuoprire se esistesse qual- 

 c)ie altra curva eguale o simile alla sua evoluta; e a questo fine G. W. Rrafft 

 pubblicò nel Tomo II. dei Gommentarii dell'Imperiale Accademia di Pietro- 

 burgo alcune indagini, donde ebbe ad inferire che le sole curve uguali alle pro- 

 prie evolute sono la cicloide e la spirale logaritmica ad angolo semiretto, e che 

 le curve simili alle rispettive evolute sono esclusivamente tutte le logaritmiche 

 spirali e le epicicloidi. Questa conclusione venne avvalorata dalle ricerche ana- 

 litiche istituite dall'Eulero nel Tomo XII. del Commentarli suddetti, e da esso 

 poscia rifuse in una forma più sistematica nel Tomo 1. dei Nuovi Atti della 

 stessa Accademia, a fine di determinare iu generale le curve simili alle loro 

 evolute («)esirae. A risolvere più generalmente l'analogo Problema riguardo 

 alle evolute ad angoli qualunque è rivolto il presente Articolo, nel quale dap- 

 prima si adalterauuo le formole dell'Eulero al Problema delle curve simili alle 



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