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M M\ l'altro a sinistra di M'M : la stessa cicloide poi è direttamente simile ed 

 uguale alla sua evoluta seconda A"M"N", percliè due punti omologlii qualun- 

 que iV, N" giacciono dalla slessa parte (a destra) delle direzioni di due raggi 

 omologLi 31 31', M'M". 



Onde assegnare l'equazione di condizione della simiglianza, l'Eulero taci- 

 tamente suppose cte un punto qualunque della curva da determinarsi avesse 

 per suo omologo nell'evoluta («ìesiraa quello stesso che gli corrisponde nella 

 successiva deduzione delle evolute, siccome vediamo avvenire (Fig. VI.) nel- 

 l'evoluta seconda delia cicloide. In questa ipotesi, clie seco involge la siaii- 

 gliaaza diretta delle due curve- se denotiamo con x il rapporto di dimensione 

 lineare delia curva cercata alla sua evoluta (?i)esima ad angolo e sempre uguale, 

 e con r, r„ i rispettivi raggi dell'evoluta ad angolo e di ciascuna curva, si La 

 per coudizione della loro similitudine l'equazione 



— — = k , ossia f82) '"„ = kr 



esprimente la proporzionalità dei raggi di curvatura nei punti omologhi. Sosti- 

 tuita ad r„ la sua espressione (63), si arriva ad una equazione lineare, il cui in- 

 tegrale rappresenta la curva richiesta. Siccome poi § 15. (59) il raggio /'„ = 



d.>„ 



— cos e può risultare sì positivo che negativo, secoudochè l'arco s„ cresce 



da ' '■ e ^ 



o decresce all'aumentarsi di 5; ne segue che, per contemplare ambedue que- 

 sti casi, è d'uopo nella (82) attribuire a k il suo valore numerico affetto dal 

 doppio segno +. E qui bisogna avvertire, per rimuovere ogni equivoco, che 

 l'Eulero ha chiamato simiglianza diretta quella che si riferisce a k positivo, ed 

 inversa quella che spetta a k negativo. Ma in entrambi i casi le due curve sono 

 sempre direttamente simili nel senso di sopra adottato. La sola distinzione che 

 ha luogo in questi due casi, e che spiega la denominazione usata dall'Eulero, 

 consiste in ciò: che nel primo caso gli archi delle due curve crescono di con- 

 serva e si sviluppano simultaneamente; laddove nel secondo caso mentre l'uno 

 cresce e si sviluppa, l'altro scema e soggiace ad una involuzione. Se ne ha un 



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esempio (Fig. VI.) nell'evoluta seconda della cicloide, il cui arco dovendo avere 

 § 7. (21) il medesimo segno del raggio di curvatura 31' M" dell'evoluta prima, 

 va decrescendo e si inviluppa al crescere* ed allo svolgersi dell'arco ^ 31 N 

 della cicloide. Nulladimeno questa curva si riconosce uguale e direttamente si- 

 mile alla sua evoluta seconda. 



