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Nou polca certamente sfuggire all'Eulero che il Problema non era comple- 

 tameute risolto, staule la fatta supposizione che i punti omologhi si corrispon- 

 dessero altresì nella stessa serie dei raggi delle evolute consecutive; ina anziché 

 abbracciare la totalità dei casi in cui non ha luogo siffatta corrispondenza . egli 

 si limitò a considerare quelli soltanto i quali dipendono dalla posizione rispettiva 

 delle due curve simili, che abbiamo di sopra denominato inversa. Ed infatti al- 

 lora più non si verifica questa corrispondenza che per due punti M. 31 . come 

 si ravvisa per la cicloide riguardo alla sua prima evoluta. La soluzione del Pro- 

 blema, per ogni caso spettante alla similitudine inversa, venne dall'Eulero inge- 

 gnosamente ricondotta a dipendere da quella dianzi accennala, relativa all'ipo- 

 tesi dei punti omologhi corrispoudenlisi nella deduzione delle evolute , mercè 

 l'osservazione, che se una curva (come la cicloide) è simile inversamente alla 

 sua prima evoluta ordinaria, deve poi essere simile alla sua sviluppata seconda 

 iu modo, che i punti omologhi si corrispondano nella serie dei raggi; cosicché 

 basterà rintracciare mediante l'equazione r^^^Kr tutte le curve simili alle 

 loro evolute ordinarie (2n)esime, per avere fra queste tutte quelle che riescono 

 inversamente simili alle evolute d'ordine n. Ma se è vero che per due curve in- 

 versamente simili due punti omologhi qualunque non giacciono nella stessa se- 

 rie dei raggi delle evolute, non regge però la proposizione reciproca, che cioè 

 non corrispondendosi i punti omologhi nel modo indicato, debbano le curve 

 riuscire inversamente simili fra loro: poiché eziandio per due curve dotale di 

 simiglianza diretta può bene non aver luogo siffatta correlazione. Allora il Pro- 

 blema trattato nella sua integrità guida ad una equazione lineare alle differenze 

 miste, come vedremo al § 25. Frattanto crediamo opportuno, attesa la sempli- 

 cità dei risultati, di estendere le formole e le costruzioni offerte dall'Eulero alla 

 questione delle curve simili alle rispettive evolute (n)esime ad angolo e sempre 

 uguale, cioè di cui gli n angoli sieno tutti eguali fra loro. 



21. 



Sostituita nella (82) ad /•„ la sua espressione (64), e posto A' = «''cos"c5 

 si avrà, a cagione del doppio segno di k. l'equazione lineare 



(Ir d r n (n — i ) d ;• 



(83) — + nlgc -t- ^ tg'c -T— T +.... + /■ tg " f =+«" r, 



il cui integrale dipende dalle radici dell'equazione algebrica 



{t+ ig 0)"= ^x". 



