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 Queste radici sono tutte comprese nella forinola 



i + tg e = a (cos co, + V — 1 sea co,), 



ove sia 0); rr -^ per A; positivo, ed w. = pel caso opposto , ed i su- 

 scettibile di lutti i valori o. 1, 2, .... /«; intendendosi per m quel numero intero 

 che rende li. come pure 1i-\- \, eguale o prossimamente inferiore ad n, e per 

 T il rapporto della circonferenza al diametro. Conseguentemente denotando con 

 ^±,5 Di, £,-, /?,, bi diverse costanti arbitrarie, secondochè ad i si attribuiscono 

 i mentovati valori diversi, e posto da quinci innanzi per brevità 



— tg e -I- oc cos co, = ^,., 

 otterremo 



i = m + 1 i = m + 1 



'■ = . t^+,- e ' = ■^ e ' IZ?,- cos (affi sen «.) + £,■ seu ("acpsen £«,■)>. 



' = ~ 1 = ( ^ )' 



ossia, fallo Z>, =: Bi sen è,-, £, =: 5, cos è,, e rappresentato una volta per sem- 

 pre l'angolo «(p sen w,- + è,- colla cifra -if,,-, si avrà compendiatamente 



1 = m + i 



(84) r=. 2 i5ie^'%en4,. 



1 = 



Determinato r, se ne ricava il raggio r^, r^, . . . . d'ogni successiva evoluta 

 ad angolo e con una regola molto semplice. Imperocché differenziando la (84) , 

 e dividendo per d(p, si ottiene 



i= m + I 



j7 = — /• tg e -(- . ■^ ocBi e ' I sen w,- cos 4; + cos w,- sen %/-,- 1 : 

 e quindi, attese le relazioni (59) (60), risulta 



i= m + I 

 /dr \ ^ i^. f 



'"i ^ 1 jT + '■ l» c 1 cos c =: . _"^ X cos e Bi e ' sen (■4.,- + w,) ; 



cioè si ricava r, da r, sostituendo 5,- a cos e in luogo di B,, e 6,- -f- w, invece di 

 ò.. Egualmente si dedurrebbe r^ da r, col surrogare B, a^cos-c a £,■ « cos e, e 

 />, -)- 2£o,- a èj + C(),.: cosicché si avrà in generale il raggio per l'evoluta (/<)esima 

 i= m + I 



(85) r;,= , ^ «*cos*c B, e^'' ^ seu (^, + Am,.). 

 1=0 



Se /« = n si ha per A- positivo nWj :=2iT. e sen (%!,, -j- 2 jt) =: sen 4ìì 

 quindi r„ :^ ra'cos'c := /r r, e per k negativo si trova /tco,= (2 2-f- )) t, 



