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In quella guisa che espresso r in funzione di (p si sono determinale le quan- 

 liu'i x.j. 5, ys, (7, si dedurrebbero le corrispondenti Xj. jj. s^., yy^, q,^ per l'evo- 

 luta (/4)esima, data l'espressione di r\. Ma si è veduto (85) cbe r,, si determi- 

 ua per la stessa funzione esprimente /•, sol che si cangi la costante Bi nella 

 /»,■ oc* cos* e. e l'altra costante i, nella è, + hwr. ne consegue perciò ad evi- 

 denza, che col medesimo cambiamento si passa dalle ottenute espressioni di 

 x.,j. 5.J yy, q ai rispettivi valori di .rj, j-^. s^, p^. q^. 



22. 



Scendiamo all'applicazione delle formole dianzi trovate ai casi più semplici. 

 Sia primieramente « = 1, si avrà per k positivo m =1 o. Quindi scrivendo 

 B invece della costante arbitraria B„ sen è», abbiamo 



(a — tgo)9 

 (a — igc)f i?e 



a cos e — sen e • 



(^^) (a — tgc)f (a — tgc)p 



J? cos ce 5 (a cos e — sen e) e 



P=—„ ; ? </ = ^ 1 



a cos e — a seii 2 e + i a cos e — a sen 3 e + i 



Se fosse il rapporto di simiglianza k = ce cos e = sen e, si avrebbe r = B, 



... * 



cioè per la curva cercala un circolo di raggio . In ogni altro caso si vedrà 



'■ °° cos e ° 



essere la richiesta curva una spirale logaritmica. 



Infatti immaginando guidato ( Fig. VII.) per un punto qualunque di 

 delta curva l'asse arbitrario OX, da cui abbia origine l'angolo (p^ e fissata nel 

 punto l'origine delle coordinate x,^^, avremo per questo punto (p = o , 

 X = o, j- = o, e quindi p = D. q = — E: in conseguenza, mercè le relative 

 sostituzioni nelle due ultime eguaglianze (91), verranno determinali i valori 

 delle costanti arbitrarie Z), £, cioè 



£ cos e B (a cos e — sen e) 



D = — — : , £ = r-^7 —' 



a ' cos e — a sen 2 e + i a,' cos e — a sen se + i 



Ora si segni il punto A^ che ha per coordinate 0F= D, ed FA = £, e si 

 consideri un punto qualunque M della proposta curva, le cui coordinate sono 

 OP=x. PM =^j. Condotta per questo punto la tangente GM, eà A G per- 

 pendicolare alla tangente medesima, risulta evidentemente, come si è poc'anzi 

 avvertito (§21.), 



A G =^ (j — E) sen (p — (x — D) cos <p= p^ 

 GM = ( j — E) cos <p + (x — X>) sen (p^q^ 



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