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e quindi (91) si deduce 



(92) col JlMG = - = oc — lg e. 



Dunque, essendo l'angolo ^ MG costante, la curva cercala è uoa spirale 

 logaritmica che ha il polo nel punto yi. 



Afiiuchè la similitudine divenga eguaglianza, è d'uopo che sia x cos c= i. 

 Allora si trova 



1 — sen e 



cot AMG= ^^^^ = cot (45° + i. e). 



Dunque la logaritmica spirale, che incontra ogni suo raggio polare sotto 

 l'angolo 45° -f" 4 e, è simile ed uguale alla sua evoluta ad angolo e. 



Ritenuto tuttora /z = -1, troviamo anche per k negativo m = o. Si avrà cou- 



— (a + tgc)i 

 — (a + tge)i Be 



Be , s= C 



(93) 



a cos e + sen r 



— (a + tgc)f — (a + tgo)|. 



B cos ce B (a cos e + sen e) e 



-7 = 



a ' cos e + a sen 2 e + i a cos ~ e -f a sen 2 e + i 



e la curva sarà di nuovo un cerchio, se x = tg ( — e), e in ogui altro caso una 

 spirale logaritmica: imperocché, ripetuta la costruzione precedente, si ottiene 



(94) cot ^il/G = -= — (* + Ig e), 



cioè l'angolo AMG costante. 



Essendo la cotangente di AMG negativa, l'angolo A 31 G è ottuso, e la 

 logaritmica spirale giace in una posizione inversa di quella che apparisce nella 

 Fig. VII. Finché l'angolo e non va a zero, le due spirali relative agli augoli 

 (93) (94) sono distiate l'una dall'altra nelle dimensioni; e solo per e = 0^ cioè 

 pel caso contemplato dall'Eulero, esse divengono identiche fra loro, e si distin- 

 guono unicamente per l'opposta posizione testé accennata. 



I 



Se si voglia la similitudine ridotta all'eguaglianza, si dee porre x = - , 



per cui risulta 



/i + sen e \ 



cot JMG = —[ -^^77- J = — cot (45° — le). 



Havvi dunque un'altra logaritmica spirale, il cui angolo col raggio polare 

 è 45° — 4- e, cjie riesce uguale e simile alla sua evoluta ad angolo e. Essa va 

 distinta dalla precedente, il cui angolo col raggio vettore era 45° + 4 e; e solo 

 si identifica con quella nel caso di c^'O, conservando però sempre una posi- 



