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zione opposta. Cosi si trova auclje iu questa occasione avverato per la curva di 

 cui si tratta il motto di Giacomo BeruouUi : eadem mimerò mutata resurget. 



25. 



*> ' ' 



Siahiliamo ia secondo luogo n = 2. Si avrà per k positivo m = 1. 



r^ e iBe -{■ B e >; 



e qui suppoueudo nulla l'uua o l'altra delle costanti arbitrarie B. E, si ripro- 

 durrebbe la spirale logaritmica, che essendosi trovata slmile alla sua prima evo- 

 luta, dee perciò riuscire slmile altresì alla seconda, e ad ogni altra evoluta con- 

 secutiva. 



Mutandosi la posizione dell'asse che serve di origine all'angolo (p, coli' au- 

 mentare quest'angolo d'una costante .S, non si altera punto l'indole della curva 

 proposta. Abbiamo allora 



— S-igc — ftgc^ aS a9 , „, — a.V — «fi 

 r —. e e iB e e + B e e >; 



e determinalo S in modo che sia 



Be =Be , donde ^ = — log -5-. 



le due costanti arbitrarie 5, B' riduconsi ad una soltanto. Se non che potendo 

 essere B. B' affette da segno opposto, si dovrà in tal caso assumere 



affinchè S risulti reale. Pertanto avremo dalla sostituzione di ■jr_Be^'^ invece 

 di E e — "^ la doppia forma 



(a — tgc)S- — iptgc 



= Be " ' e 



ossia 



(95) r=Be <e +e >, 



la quale rappresenta due specie di curve essenzialmente diverse. 



Si incominci dall' esaminare la prima specie relativa al segno -|- superiore, 

 e la stessa analisi che siamo per istituirne si potrà poscia applicare alla discus- 

 sione della curva di seconda specie. 



Siccome i termini della formola 



r = Be 



<e + e > 



