(99) ,"=Z?h+e ' 'j, 



e che queste souo dotate della proprietà 1." non ha guari diaioslrata.j e di un'al- 

 tra proprietà più semplice della 2.", avvegnaché si ricava dalla (98) 



2 B tS e B COS lì 



jn= — — = ^ = 5—^, 



g COS e g COS e tg p COS e ' 



cioè costante la perpendicolare abbassata da un punto fisso A sopra ogni retta 

 inclinata alla curva d'un angolo costante /3. 



E facile quindi ravvisare nelle curve (99) due sviluppanti imperfette ad an- 

 golo 90° — |3 d'un cerchio che ha per raggio AH. Imperocché tutte le rette, 

 che inconlrano ciascuna delle curve suddette sotto un angolo costante ^, sono 

 tangenti alla sua evoluta ad angolo 90° — /3; e d'altronde essendo equidistanti 

 da un punto fisso, hanno per curva -inviluppo un cerchio, di cui il raggio è la 

 comune loro distanza AH dal punto fisso medesimo. Dunque l'evoluta ad angolo 



!?0 — ^ di ciascuna delle curve (99) è il circolo che ha per raggio B . La 



retta J/// sarebbe il raggio dell'evoluta medesima, e si avrebbe dalla (97) 



MH=An.igB fi +e~^'^^^]. 



Questa espressioue debitamente coincide colla (70). supposto /i = ì . 

 A H ==a. e 90° — H l'angolo dell'evolvente. Solo deesi avvertire, che <p nella 

 (70) è l'angolo formato coll'asse dalla normale al circolo, non già alla sua evol- 

 vente. Ma è superfluo l'aggiungervi la differenza (3 .^ perché vi supplisce la co- 

 stante arbitraria C^. La formola esprimente 31 H c'insegna che ad un dato cir- 

 colo competono due diverse sviluppanti ad angolo e non nullo; l'una delle quali 



relativa al segno superiore + offre il suo rageio di curvatura 5 reale, e sera- 



" r ce ggu ^ ^ 



pre affetto dal medesimo segno di ^, comunque si estenda l'escursione di (p da 

 -j- co a — 00 5 ed è perciò una spirale in cui non si scuopre alcun punto di 

 flesso contrarlo o di regresso: mentre l'allra relativa al segno inferiore — ha il 

 raggio di curvatura reale, ma nullo per (p = o . poscia sempre dell' egual segno 

 da(p = oa(p=^Oc,e sempre del segno opposto da (p = o a (p = — co : laon- 

 de è una spirale che incontra in un punto la periferia del circolo, ed ivi è dotala 

 di un regresso della prima specie. E poi da notarsi, che oltre queste due svilup- 

 panti relative a C^ positiva o negativa, la (70) ci offre ancora, col porre C^ = o. 



un circolo di raggio per evolvente ad angolo e dei circolo di raggio a. 



