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M, 



Essendo tuttora n = 2, sia k negativo, e si avrà m = o, 



r = 5 e"" ^ '° " sen (x(p + b); 



la quale espressione di r si può mettere sotto l'aspetto più semplice 



(100) r = Be~^'^'' seu x(p, 



supponendo cambiata la posizione dell'asse da cui ha origiac l'angolo (p, col so- 



b . . . . a ^ "^ 



stiluire (p a (p, e scrivendo poscia B invece ài B e 



Nell'ipotesi di e = o l'Eulero ha provato che la curva 



(lOJ) r = B sen «(p 



è una cicloide se a== 1, una epicicloide se « < 1; od una ipocicloide se « > 1. 

 Si potrebbe credere a primo tratto, che qualunque sia e, l'equazione (100) fosse 

 per esibire le curve affini protese o contratte, cioè descritte da un punto preso 

 fuori della periferia del cerchio generatore ruotante sopra una retta o sopra un 

 altro circolo fìsso; ma la presenza dell'esponenziale e — ? 'g «^ rende vana sifj 

 fatta congettura. Non intraprendo attualmente ulteriori indagini intorno alla de- 

 scrizione ed alle proprietà delle curve rappresentate dalla (100); ma per mo- 

 strare l'utilità delle formole (44) (45) § 11. concernenti la teorica delle trocoi- 

 di, mi arresterò all'ipotesi che sia c = o, e cercherò l'indole delle curve (101) 

 pei tre casi in cui ai, ossia il rapporto di simiglianza A', si suppone uguale, mi- 

 nore o maarsiore dell'unità. 



Allorché a = 1, si può col metodo del § 11. direttamente risolvere la que- 

 stione di assegnare la curva, che ruotando sopra una retta descrive con uu dato 

 suo punto la proposta curva 



r=B sen <p. 



A tal (ine abbiamo per dato 



^" ("P) = d^ =^ ^ ««" <P' 

 e per la (45) 



t, seu (p = B J sen (p cos (p . d<p = 4 B si'U ' cp +■ cost. 

 Siccome poi deve essere (p=> o^ quando ^ = o, ne viene cost. = o; (juiiidi 



Z, = l B sen <p,, ) 



