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e conseguentemente 



rF (fi) da 

 (p + t- = / --—^ = 2 (p + cost. 



La determinazione di questa nuova costante arbitraria dipende dalla posi- 

 zione dell'asse IM (Fig. V.) rispetto alla curva mobile ricliiesta. Supponendo 

 die quest' asse sia normale alla curva medesima nel punto descrivente M., ab- 

 biamo l'angolo I M M' ossia v ■= 90°, quaudo M M cioè ^ = o, e perciò quan- 

 do (p =2 0. Risulta quindi il valore della nuova cost. = 90°, e ne consegue 



(p = r — 90°. 

 Troviamo pertanto 



^; = J. 5 san (e — 90°) = — i^ >9 cos e, 



eh' è l'equazione polare d'un cerchio, il cui diametro k ^ B. Dunque la curva 



r!^B seu (p è la cicloide, che ha j B per raggio del circolo genitore. 



Trattasi adesso di dimostrare, che essendo a, diverso dall'unità, l' equazione 

 (101) rappresenta le epicicloidi o le ipocicloidl, secondochè sia a<; l, od « > I, 

 ch'è quanto dire le trocoidi descritte da un dato punto della circonferenza d'un 

 cerchio ruotante sopra un altro circolo immobile, di maniera che l'uno di essi 

 rivolga per x < 1, la parte convessa, e per « > 1 la parte concava alla conves- 

 sità dell'altro circolo. 



Sia h il raggio del cerchio fisso, ed a quello del cerchio mobile: saranno le 

 rispettive loro equazioni polari riferite 1' una al centro del cerchio che serve di 

 base, l'altra al punto descrivente preso sulla circonferenza del cerchio ruotante 

 p = b, ^ = — 2 a cos e. 



Ora dalle formole del ^ 11. si deduce 



= — col e =; tg (f — 90°), 

 d 0) = d e. 

 d 5 = = 2 rt d i'. 



scn w^ 



Gonsegueutemeute. mercè le relative sostituzioni nell'eguaglianza 



a* 



d(p -|-d&) =dcp. ossia — ^ -f" " '^, = " 'Pi 



ne verrà 



^^-|-ljdr = d(p, 



