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Ora questa equazione non è suscettibile di una decomposizione In due fat- 

 toli razionali, l'uno contenente la sola in, e l'altro la sola e'"*; cosicché sarà 

 mestieri inferirne, che l'integrale della equazione (102) nou possa racchiudere 

 veruna funzione periodica a differenza nulla. 3[a però è concesso di ricavarne 

 valori di m diversi da quelli di t, che soddisfanno all'equazione 



r= ^ (61); 



cos e . . . . cos e \ ; ' 



n — 1 



anzi il sistema dei valori di in, ossia delle radici dell'equazione (103). subirà un 

 nuovo cangiamento ogni qual volta si muti il valore arbitrario della costante li. 

 Così, per recare il più facile esempio della maggiore estensione con cui si può 

 quinci risolvere il Problema proposto nel presente Articolo, se sia «=1. si 

 avrà dalla integrazione della (102) la logaritmica spirale 



r= Ce"?, 

 di cui sappiamo (§ 22.) che l'angolo formato dalla curva con ogni raggio polare 

 ha per cotangente in. Presi ad arbitrio i valori delle costanti e, k, m, e deter- 

 minato l'angolo h in modo da soddisfare all'equazione 



m cos e -\- sen e = A' e'"'' , 

 a cui si riduce la (103) nel caso di n = ^, si conchiuderà che qualsiasi loga- 

 ritmica spirale è simile alla sua evoluta ad angolo qualunque nel rapporto ar- 

 bitrario di 1 : k. Il quale risnltameuto nou può destar meraviglia, ove si rifletta 

 che questa volta i punti omologhi nou si costringono a corrispondersi sullo 

 stesso raggio dell'evoluta, e che ogni logaritmica spirale ha per evoluta ad an- 

 golo qualunque la stessa spirale logaritmica inclinala al suo raggio polare sotto 

 un angolo uguale. Ora sono sempre simili gli archi di due logaritmiche spirali 

 egualmente inclinate ai loro raggi polari, qualora si eguaglino gli angoli rispet- 

 tivi compresi dai raggi polari guidati agli estremi degli archi suddetti; e il rap- 

 porto arbitrario della loro simiglianza dipende dalla scelta delle estremità omolo- 

 ghe degli archi medesimi, essendo quello dei raggi polari condotti a due punti 

 omologhi. 



26. 



Suppongasi in secondo luogo (Fig. IX.) che le due curve M N, M'N' ali- 

 biano fra loro una somiglianza inversa, cosicché i punti omologhi non sembrino 

 più inseguirsi, ma andarsi incontro, oppure allontanarsi l'uno dall'altro. Ripe- 

 tuli i precedenti raziocinii e ritenute le stesse denominazioni, chiamati inoltre 



