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giusta una osservazione fatta dall'Eulero intorno alle equazioni lineari a coeffi- 

 cienti costanti {InstitiUionuin calcali integralis. Voi. II. pag. 3G9, edit. altera). 



Ma l'equazione (lOG) serve a determinare (§ 20.) le curve direttamente 



simili alle proprie evolute (2n)esime agli angoli e, e,, c^ e»— r, 



— e. — e, , . . . . — c„_j5 siccome appare dalla (lOT). nel rapporto di 1 : A', 

 col patto clic i punti omologhi si corrispondano nella serie dei raggi delle evo- 

 lute consecutive. Dunque solamente fra queste curve si dovranno cercare tutte 

 quelle che sono inversamente simili alle proprie evolute (/z)esime ad angoli 

 e, Cj, Cj, . . . . c„_, , nel rapporto di 1 : k. Si è già premesso (§ 20.) che l'Eu- 

 lero avea notato questa dipendenza pel caso di e = o^ ascrivendola però non 

 alla mutua posizione inversa delle due curve, ma alla circostanza dei punti omo- 

 loghi che non si corrispondono nella stessa catena dei raggi delle successive 

 evolute. Rilevasi al tempo stesso dalla ispezione della (106). che per n dispari k' 

 deesi prendere col segno — , siccome avviene per la cicloide. 



Abbiamo conchiuso poc'anzi, che fra le curve dedotte dalla (106) debbousi 

 rintracciare tutte quelle che si determinano mediante la (104). Ed infatti è pa- 

 lese che ogni espressione di /' in funzione di (p, la quale soddisfaccia alla (104), 

 rende identica anche la (106): ma non è però vero reciprocamente che ogni 

 soluzione della (106) debba soddisfare alla (104), attesoché quella equazione ha 

 un significato più generale di questa. Si dovrà dunque verificare in ogni caso 

 particolare se la (104) sia soddisfatta dalla soluzione della (106), avvertendo 

 (§ 20.) che nella (104) si può attribuire a />: il doppio segno +. 



Vogliasi ad esempio rinvenire tutte le curve inversamente simili alle loro 

 evolute prime ad angolo e. 



Posto A" = « cos e, la (106) diviene 



(108) — - — rtgV = — aV, 



G p 



ed integrata ci somministra 



1." Se ai = tg e, r=C(p + C\ 



2.°Se a<tgc, r=Ce^('»''^^-"') + C' e' ^ ^'s' e- a') ^ 



3." Se a >tg e, r= Csen {(p [/ (x^ — tg^c) + C'}. 



Ogni integrale della (108) dovrà poi rendere identica l'equazione, a cui nel 

 presente caso si riduce la (104), cioè 



(109) tL + risc=±xu. 



