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pevcliè si possa asserire che questo integrale rappresenta una curva iuversa- 

 nieule simile alla sua evoluta ad angolo e. 



l^rima di esaminare se ciascuno dei precedenti iutegrali 1.°. 2.°, 3.° verifi- 

 chi la (109), porremo per brevità y + S = £, avvertendo che il punto della 

 31 N-, in cui la normale alla curva forma coli' asse delle ascisse l'angolo -i e, 

 avrebbe per omologo sulla 3J'N' il suo corrispondente nella stessa serie dei 

 raggi delle evolute. 



Ora l'integrale 1." rappresenta (lì) § 16. l'evolvente ordinaria del circolo 



C . 



che ha per raggio . Fissando l'origine dell'angolo <p in modo che sia r=i: o 



quando (prrro, sparisce la costante arbitraria C', e rimane r= C(p. Simulta- 

 neamente abbiamo v = C {e — <p); e sostituendo ad r, v questi valori, troviamo 

 ridotta identica la (109) coll'assumere il segno di (X opposto a quello di e, e 

 coli' attribuire ad i il valore — i ^ — cot e. Dunque l'evolvente ordinaria del 



a. ' 



circolo è inversamente simile alla sua evoluta imperfetta ad angolo e nel rap- 

 porto di 1 : sen e. Ed infatti si rileva agevolmente pel Teorema del § 3., che 

 questa evoluta imperfetta sarebbe l'evolvente ordinaria d'un circolo, il cui rag- 

 gio è quello del proposto moltiplicato per sen e; e d'altra parte si comprende 

 che le evolventi di due circoli sono simili , e stanno fra loro come i raggi dei 

 cerchi medesimi. 



Se nell'integrale 2.° l'una o l'altra delle costanti C, C' andasse a zero, ne 

 viene esibita una spirale logaritmica che non si trova soddisfare alla (109) ed 

 alla questione. Supponendo che nessuna delle C, C si annulli, possiamo (§ 23.) 

 mettere quell'integrale sotto l'aspetto 



(110) r= C |ef i^Cg'^-»') + e~^ 1/ («s'<^-«')|^ 



eh' è un caso particolare della forma (95), e rappresenterebbe due specie di 

 curve simili alle loro evolute ordinarie seconde, nel rapporto di 1 : tg^c — oc'. 

 Si avrà quindi 



v=C |e('~f) V/Og'c-a') ^ g-O-f) l/(tg'c-— a')^^ 



e si troverà verificata la (109) per la prima specie delle (110) relativa al segno 

 superiore coli' attribuire ad x lo stesso segno di e, ed assegnare ad i il valore 

 reale desunto dalla equazione 



