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e per la seconda specie, col preudere a dì segno opposto a e, e desumere e dalla 

 equazione 



Dunque ciascuna delle due specie di curve (110) ha per evoluta ad angolo 

 e una curva inversamente simile, e quindi della stessa specie; mentre avrebbe 

 (§ 23.) l'altra specie per evoluta ordinaria. Giova notare a questo proposito, che 

 l'angolo e non potrebbe esser nullo, stante l'ipotesi «< tg e; in virtù della 

 quale il valore numerico di sen e dee sempre eccedere il numero A', che non 

 può mai andare a zero. 



Finalmente soppressa nell'integrale 3.° la costante C' nel modo praticato al 

 § 24, cosicché sia rz= o quando <p=zo^ otteniamo 



(111) r=Csea.(p |/(5i^— tg»c), 

 cioè l'equazione conforme alla (101) d'una cicloide se a.^ — tg'c=:1 ossia 

 A= 1, d'una epicicloide se A<; 1, e d'una ipocicloide se A' > 1. Si verifica 

 poi la (109), qualunque sia il segno di «, assegnando ad i il valore dedotto 

 dalle due equazioni coesistenti 



sen.f |/(c,'_tgV)= ^^("'-'g''^)^ cos.f J/ («^_ ig V) = — '•^■ 



Raccogliamo pertanto il singolare Corollario che sono per enunciare. L<i 

 cicloide è uguale ìion solo alla propria evoluta ordinaria, ma altresì ad ogni 

 sua evoluta imperfetta ; e le epicicloidi ed ipocicloidi sono inversamente si- 

 mili in vario rapporto a tutte le loro evolute ad angolo qualunque. 



27. 



I medesimi priucipii servono a determinare generalmente ogni curva simile 

 ad altra curva che ne dipenda in un modo qualunque, ogniqualvolta l'angolo 

 delle normali in due punti dell'una sia uguale all'angolo delle normali all'altra 

 curva nei due puull che corrispondono a quelli, secondo il modo di derivazione 

 con cui essa viene dedotta dalla prima curva. In tale condizione si trovano ap- 

 punto le curve parallele. Si potrà quindi facilmente risolvere il Problema delle 

 curve piane che riescono simili ed eguali alle parallele rispettive. Il chiarissimo 

 Professore Bordoni nella citata sua Memoria sulle curve e superficie parallele 

 {^Atlì della Società Italiana, Tomo XVI- Farle I.) avea già notato (( l'insussi- 

 )i stenza del Teorema: nessuna curva, tranne la periferia, ha per parallela 

 n un altra curva della medesima i'yoec/e ,• stabilito da un celebre analista, e 



