punti produrrà una linea. La natura poi di questa dipenderà dalla na- 

 tura della linea data, e dalla particolar relazione che un punto qual- 

 unque della generatrice ha col corrispondente della generala. Chia- 

 meremo rispettivamente punto generatore e generato i punti corri- 

 spondenti delle due linee. 



6. Se ben si considera la maniera, colla quale viene a prodursi la 

 generata, si vede che hanno luogo due principali condizioni: che in- 

 finiti sono i punti generatori, che questi punti sono continui, e che 

 perciò infiniti e continui sono i punti generati. 



7. Dietro questa osservazione vedremo che in due altre maniere 

 può considerarsi generata una linea. Sia data una linea qualunque, e 

 sopra di essa si prenda un punto, il quale abbia con un punto estrin- 

 seco una determinata relazione. Si finga che questa linea cangi conti- 

 nuamente di posizione con determinata legge, e che in qualunque po- 

 sizione al punto scelto sopra di essa corrisponda un punto estrinseco, 

 dipendente per la stessa relazione: avremo così una linea, che sarà la 

 generata della proposta. La natura di questa linea dipenderà dalla 

 natura della linea data, dalla posizione del punto generatore, e dalla 

 legge colla quale la linea data cangia di posizione. 



8. Abbiasi ora una famiglia di linee ad uno o più parametri varia- 

 bili. Si prenda a considerare una linea particolare, e scelto sopra di 

 essa un punto, abbia con un punto estrinseco una particolar relazio- 

 ne. Suppongasi che un punto similmente posto in ogni linea partico- 

 lare, abbia con un punto estrinseco la stessa relazione: avremo una 

 serie infinita e continuata di punti, che produrranno una linea, la qua- 

 le sarà la generata della data famiglia. La natura poi di questa linea 

 dipenderà dalla natura della famiglia generatrice, dalla posizione del 

 punto generatore sopra della linea particolare, e dalla relazione parti- 

 colare esistente fra i punti generatore e generato. 



g. Quello che abbiamo detto rapporto alle linee piane, si può ripe- 

 tere e per le curve a doppia curvatura, e per le superficie. 



io. E chiaro poi che queste tre generazioni sono le elementari, le 

 fondamentali, e che qualunque generazione possibile deve risultare 

 dalla combinazione e modificazione di queste. 



11. Prendiamo a considerare problemi più generali. Sieno m linee, 

 e sopra di ciascheduna si fissi un punto, e questi m punti sieno tal- 



