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Della generazione in generale dei punti e delle linee in un piano. 



De* punti. 



21. Problema I. Dati n punti, e le relazioni che questi punti hanno 

 con un altro, ritrovare quest' ultimo. 



Sieno Mi, M 2 , M3 M n i punti generatori, ed M sia il gene- 

 rato. Sieno x t , jtx: X2,j2-, x ",jn le rispettive coordinate de' 



punti generatori, ed x } y quelle del punto generato. La posizione del 

 punto M- sarà generalmente data dall'equazioni x = A, y== B„ ed in 

 questo caso A, B saranno funzioni delle coordinate de' punti genera- 

 tori. Avremo perciò x=/ t (xì,-jTi,.- • ■ -)ìj^f^ (^2,^2, — ), equazioni 

 che risolvono il problema. 



22. Generalmente l'equazioni che determinano la posizione del 

 punto M saranno 9>i = o, 9* 2 == o, essendo 9*,, 9> 2 funzioni delle coor- 

 dinate de' punti generatore e generato. 



23. Quindi l'equazioni 9\ = o, <P 2 = o rappresentano due linee, dal- 

 l'intersezioni delle quali ha origine il punto generalo. 



24. Da queste equazioni se ne possono dedurre infinite altre coppie, 

 rappresentanti delle linee, dall'intersezione delle quali abbia origine 

 il punto ricercato. Infatti si formino le due equazioni JF\ [<p 1> 9*2 ) = o, 

 Fi (9*i, fi ) = o, tali che sieno soddisfatte quando 9*1, 9*2 divengono 

 nulle: è chiaro che le equazioni Fi = o F 2 = o saranno soddisfatte 

 dalle coordinate che soddisfanno ad ambidue l'equazioni 9*1 = <pi = o, 

 e perciò le linee che rappresentano s' intersecheranno ne' medesimi 

 punti. 



25. Si osservi poi, che la proposizione inversa non ha luogo, giacche 

 i punti d'intersezione delle due linee rappresentate da F, = o, Fi = o 

 generalmente saranno in numero assai maggiore de' punti d'intersezio- 

 ne delle due linee primitive. 



26. Quanto al problema delle successive generazioni, non vi ha cosa 

 più facile quando si tratti de' punti. Infatti sieno M\ M"j M'" .... 

 M( m ) i successivi punti generali: avremo im equazioni, per mezzo 

 delle quali potremo eliminare le coordinate di m — 1 punti, e le due 

 equazioni risultanti rappresenteranno la posizione del punto ricercato. 



