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Sistema generante di famiglie. 



49. Problema IV. Data una famiglia di linee ad n parametri varia- 

 bili, data la posizione del punto generatore, e data la relazione de' 

 punti generatore e generalo, ritrovare la generata. 



Sia F t (xi,yi,ai } a^ t az . . a n ) = o l'equazione della famiglia, 

 ed Xjj le coordinate del punto generato M. La posizione di questo 

 punto sarà data dall'equazioni f, = 0, f = o, essendo fi, fa funzioni 

 determinate delle coordinate x lf y It x y y> e degli n parametri, o di al- 

 cuni soltanto. Si osservi poi, che il punto generatore dovendo esistere 

 sopra una parlicolar generatrice, ed essere sopra di essa determinato, 

 avremo n equazioni fra le sue coordinate ed i parametri variabili. Eli- 

 minando per mezzo di queste 7j-f-3 equazioni le coordinate x It y, e 

 gli n parametri, otterremo un'equazione F {x J y)=^o ì che sarà quel- 

 la della generata. 



50. Generalmente le n equazioni, che' determinano la posizione del 

 punto generatore, possono essere non solo fra le coordinate di que- 

 sto punto ed i parametri variabili della famiglia, ma ancora fra que- 

 ste quantità e le coordinate del punto generato. 



5i. Eliminando le coordinate x 1 ,y li avremo »-f-i equazioni che 

 rappresenteranno altrettante famiglie generatrici della generata che 

 si ricerca. 



52. Se non si avranno n equazioni per determinare il punto ge- 

 neratore, la generata non sarà un'unica linea, ma una famiglia di 

 linee a più parametri; che anzi in questo caso si avranno più fami- 

 glie generate. Infatti sieno m le equazioni di condizione: avremo al- 

 lora m-\-3 equazioni, dalle quali eliminando le x i ^yi ì avremo wi-t-i 

 equazioni che rappresenteranno m+i famiglie n a più parametri. 

 Da questo potremo eliminare m parametri, ed avremo un'equazione 

 fra x,y ed n — m parametri; e siccome si possono scegliere m para- 

 metri in differenti maniere, così potremo determinare altrettante fa- 

 miglie generale. 



53. Problema V. Date n famiglie di linee a più parametri, date le 

 posizioni de' punti generatori, date le relazioni scambievoli di que- 

 sti punti generatori e col generato, determinare la linea generala. 



