. ■ -■— . J/ 2 /" V — V^ 



a = 2 n r, si avrà x = V i r y — r 2 -+• r Are. sen. - — — > come 



r 



sopra. 



XIII. 164. Problema X. Sieno BC,B ' C due linee determinate, edTlf iVuna 

 linea particolare di una famiglia, determinala in modo che abbia colle 

 BC_, B'C contatti di ordine determinato ai punti MjN; e P sia un 

 punto, la di cui posizione dipenda da quella dei punti M 3 N~. Se s'in- 

 tende per tutti i punti M_,Nj corrispondenti delle due linee, co- 

 strutta similmente una linea , la serie de' successivi punti P costi- 

 tuirà una linea: se ne domanda l'equazione. 



Sieno Fi (.r,,j,) — - o, F 2 (x 2 ,j 2 ) = o l'equazioni delle due 

 linee BCjB'C; F3 (x ì ,j: i a J b J c...g) =0 l'equazione della MN, 

 ed xy le coordinate del punto P. Finalmente sieno pj, q le coordi- 

 nate del punto M ; pi,qi quelle del punto JV, e sieno p, = o, ? 2 = o 

 l'equazioni di relazione fra le coordinate M } NjP. 



Ciò posto, supponiamo che i parametri variabili dell'equazione 

 F5 = o sieno 2«-+-i, e si determinino in modo che l'ordine del 

 contatto in M„ più l'ordine del contatto in N sia eguale a 271: è 

 chiaro che il punto N sarà determinato completamente, quando lo 

 sia il punto M. Stabilite le in equazioni di condizione pei contatti, 

 si sostituisca ad x t , y t ; x 2 , y 2 le coordinate p, q; p t , q l , ed alle coor- 

 dinate x 3 , y 3 le coordinate p, q, ovvero le p s , q tt secondo che si pa- 

 ragona la MN colla B C> o con la B'C'. A queste si aggiungano le 

 altre F, {p,q) =0, F 2 [p„ q t ) — o, F~ 3 (p, q, a ..g)= o, 



Ps {pi, q„a'..g)=o, <? l = 0, <f 2 = o, 

 e queste saranno l'equazioni che risolvono il problema. 



In fatti avendo 2?i + 6 equazioni, eliminando gli 2»+i parame- 

 tri variabili, e le coordinate p 3 q; p lt q t , arriveremo ad una equazio- 

 ne F (Xjj) =0, che sarà alla generata. 



i65. Se il punto P deve stare sopra la linea MN, e muoversi con 

 data legge sopra di essa, le due equazioni <p £ = o, '$, = o prenderanno 



df> 



la forma particolare F3 (x J y J a J b...g) =0,?= / dx ' 1 



estendendo questo integrale fra i limiti p> x, ovvero fra i limiti p n x, 

 ed essendo ? nota funzione delle coordinate dei punti 3Ij N. 



