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Sia adunque F (Xj y) = o l'equazione della linea data, 

 F, (x^y^a) =o, F 2 ( x 2 ,y 2 b ) = o 

 l'equazioni delle famiglie generatrici. I punti d'intersezione delle 

 corrispondenti linee delle due famiglie dovendo appartenere alla 

 data, dovranno coesistere le tre equazioni 



F(x J y)—o, F I (x J y J a)=o, F 3 [x,j J b) = o. 

 Eliminando da queste le x,y, avremo una risultante p (a, b) == o, 

 che racchiuderà la necessaria relazione fra i parametri. 



180. Essendosi determinata convenevolmente la natura delle fun- 

 zioni F, = o, Fi = o, dall'equazione p= o ricaveremo il valore 

 di bj e ne lo sostituiremo nell'equazione F 2 = o: per tal modo sa- 

 ranno determinate completamente le due famiglie generatrici per 

 mezzo delle loro equazioni. 



181. Considerando a, b come coordinate ad una linea <p = o, sarà 

 l'equazione di una linea che chiameremo linea de' parametri. Sup- 

 ponendo pertanto che le linee rappresentate dall'equazioni F l = o, 

 F 2 — o, p = o sieno di costruzione più semplice della data, potremo 

 descriverla col loro mezzo. 



182. Si osservi che se a_, b sono parametri di posizione, converrà 

 aver riguardo alla grandezza ed al loro segno; se sono parametri di 

 grandezza, si avrà riguardo soltanto alla loro grandezza. 



i83. Se si proponesse di ritrovare n famiglie generatrici di una 

 linea data, ecco come dovrehbesi procedere. Si assumano n equa- 

 zioni, ciascheduna delle quali rappresenti una famiglia ad un para- 

 metro variabile, e sieno queste 



Fi (x^y^pt) —o, F^ (x 2 ,y 2 , p 2 ) =: o . . . F n ( x„, y n , p n ) = o. 

 Sostituendo ad x„f t ; x 2 ,y 2 . . . x„,y n le coordinate xyy, ed elimi- 

 nando per mezzo delle equazioni risultanti e della proposta le coor- 

 dinate Xj y 3 avremo n — 1 equazioni di condizione fra gli n para- 

 metri, onde le proposte famiglie sieno generatrici della data. 



184. Abbiamo supposto che l'equazioni delle famiglie sieno ad un 

 solo parametro; però gioverà di prendere l'equazioni F l = o, F 2 = 

 nella maggiore generalità, onde l'equazione <p = o contenendo tutti i 

 parametri delle due equazioni, si possa, eccettuatine due, procedere 

 alla loro determinazione in modo che le costruzioni riescano sem- 

 plici* Lo stesso dicasi se si ricercano n famiglie generatrici. 



