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XV. i85. Prima di passare ad alcune applicazioni giova fare la seguente 

 considerazione. Stabilite l'equazioni di due famiglie generatrici ad 

 un parametro variabile, si può ricercare quale esser debba la rela- 

 zione fra i parametri , onde la generata goda di alcune proprietà. 

 Questo problema generale non ammette veruna difficoltà. Eccone un 

 semplice esempio. 



186. Sieno le due linee BM,B'M appartenenti a due famiglie, 

 ed intersecantesi nel punto M ; si vuole che il punto M appartenga 

 alla generata B"C", essendo l'angolo 7? r MC"nota funzione dell'an- 

 golo BMB'. 



Sieno Ft (x I ,y It a) =o, Fi (x 2 ,y 2 ,b) =o l'equazioni delle due 

 linee BM„ B 'M ; e sieno x,y le coordinate del punto M_, e sia 

 * (tang. B'MC\ tang. BMB") = o. 



Indicando per 3, 3' i differenziali presi dall'equazioni date F 1 — o, 

 F 2 — o, l'equazioni che risolvono il problema saranno 



1 3 x dx dx Sx f 



l =; t- » «- t—\ — °- 



F I {x J jr,a)*=o,F 2 {x,jr J b)=o,ìr 



I orar óydyl 



'1+-5A-A i-H-s— .-=4-1 

 ox dx ] 



3' x dx 3 1 



dr 

 Eseguile le eliminazioni, avremo — — =f(x J y), e quindi integran- 

 do ricaveremo F {x,y, C) =0, che sarà l'equazione della generata, 

 ove C rappresenta la costante arbitraria introdotta dalla integrazione. 

 Eliminando dalle tre equazioni Fi {x,y,a) = o, F 2 (x_,y_,b) == o, 

 F(xjjjC) =0 le coordinate x>y, otterremo un'equazione ip{a J b J C)^^o, 

 che esprimerà la ricercata relazione tra i parametri. 



187. Le due famiglie generatrici sieno di linee rette dell'equazioni 



Jt = aj j a == bx 2 , e sia BMC" = B'MB". 



ci Y^ 2 oc d V 



L'equazione differenziale della generata sarà — - f- . — r— = r, 



CI OC j o oc 



e l'equazione finita sarà /* = aC.r + C 1 , equazione alla parabola, 

 come deve essere. 



Veniamo agli esempi, 



188. Esempio. Descrivere una parabola dell'equazione y* = px per 

 mezzo di un circolo, il di cui centro stia in un punto determinato 



