r= 



SEZIONI CONICHE 505 



e perciò essendo HD = PH — PD, sarà 



G H = ^^" (°' ~ ^ (^ _ r(m- 1) se n « . f/j. 1.- 



sen a \ sen (a — 13) / ■ 



Parimenti dai triangoli P B E, E F H si ha 



}-('/n+l)sena r(»«+l)sena 



P E = ^ ^7-^^ = a; + EH, onde E H = — ^ — -r-—-^ x, 



sen(« + /3) ' sen(a + p) ' 



ed 



jj p ^ EH.sen(o: + /3) ^ sen_(a j-^) /^'M-JJ sen a \ 

 sen a sen a v sen (a + /3) ~ / ' 



Sostituendo nell'equazione (1) i ritrovati valori di G H, e II F 

 risulta 



sen(o! + / 3)scn(«-/3) / i'(m-l)sen «v /r (m+i) sen a \ ^ 

 sen^a ^ sen(a-/3) /\ sen (a + /3) ~ / ' ^ -^ 



la quale rappresenta la linea, secondo la quale il cono è segato 



dal piano I E II D P. 



Quest'equazione da immediatamente a conoscere che la 



curva da essa rappresentata è simmetrica intorno all'asse delle 



ascisse, e che incontra lo stesso asse ne' punti determinati da 



r (m— 1) sen a r (m + 1) sen a 

 X = — 7^^^, — = P D, X = ~ 7^— ^~- = P E . (o) 



sen(a-i3) ' sen (a + /3) ^ ^ 



Questi due punti diconsi vertici della curva. 



Ora si osservi che quando sen(a-/3) e sen(a + i3) sono 



quantità dello stesso segno, lo che ha luogo quando è +«> +i3, 



allora i due valori (5) di x risultando positivi non si potranno 



avere valori reali per 1/ che per le ascisse comprese fra quelle 



dei vertici, come apparisce dalla (2); onde la curva in questo 



caso è chiusa. Quando sen (a — /3) e sen (a + /3) fossero di segno 



contrario, ciò che corrispondo a +«< +P, ninna ascissa po- 



.,.,,, . ,. r(m+i) sena 

 siliva potrebbe essere minore di -^^ ; ' „, , come ninna 



^ sen (« + /3) ' 



,. rCjH— l)sena , 

 ascissa negativa potrebbe essere minoro di '-^—, — -r- — , al- 

 ° ' sen (a — p) 



trimenli risulterebbero immaginarj i valori di y: ma per gl'in- 



