SEZIONI CONICHE 375 



superficie coniche generate dalle duo rette A /", A /"' ruotanti 

 intorno alla A D. 



Riferendo agli slessi assi AC, AB la posizione del punto II, 

 che si può supporre sia il centro di una qualunque delle sezioni 

 fatte da piani, che passino pel punto P, sarà facile trovare il 

 luogo geometrico dei centri delle prenominate sezioni. Infatti 

 siano A K == X, H K = 1/ le coordinate del centro medesimo, e 

 P E'= a, E' A = & quelle del dato punto P. Poiché H è il punto 

 di mezzo di D E, sarà DK = KA = x, ed AE = 2y, g dalla 

 somiglianza dei due triangoli D H K, P E E' si ha la proporzione 

 x:y = a:b + 2y, da cui 



ay 

 b + 2^j 

 od anche ) (17) 



b X 

 y-r-2: 



Dunque il luogo geometrico cercato è un' iperbola riferita ad 

 assi paralleli agli asintoti; ed è ben evidente che questi asintoti 

 sono le rette rappresentate dalle due equazioni 



a b 



^ = 2 ' ^ = ~ 2 • 



La simultanea sussistenza di queste due equazioni medesime dh 

 il punto d'intersezione degli asintoti, ossia il centro dell'iper- 

 bola: esso ò pure il punto, ove si segano le diagonali condotte 

 nel parallelogrammo AE'PD": gli assi dcU'iperbola stessa sono 

 paralleli alle due rette PB, AL, giacché questi debbono divi- 

 dere in parti eguali gli angoli formati dagli asintoti medesimi. 

 Uno dei due rami di quesl' iperbola passa per il vertice A del 

 cono, e per il centro L della base, imperciocché quando a; = o 

 risulta da entrambe le suesposte equazioni (17) 2/ = o, e le stesse 



1 • 1 • a — b 



equazioni rnnangono pur verificate dai valori x = — — = y, 



che sono le coordinate del punto L. Questo ramo d' iperbola ò 



Fig. V 



