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$. IL Sistema generante di famiglie. 



Delle linee nello spazio. 



io. Problema VI. Data una famiglia generatrice, e la relazione che il pun- 

 to generatore di una linea generatrice aver deve col punto generato, deter- 

 minare la linea generata. 



Sieno l'equazioni della famiglia 



Fi \xi,yx,zi,pi ....pi f = o, 



?i j x ly jn,zi,pi ■ ■ ■ ■ pn) =0, 

 contenenti n parametri variabili. Dovendo il punto generatore ritrovarsi sopra 

 una determinata generatrice, avremo n equazioni che legano fra loro i para- 

 metri e le coordinate di esso. La posizione del punto generato sarà poi data 

 da tre altre equazioni. Per tal modo avremo n -f- +1 equazioni, dalle quali 

 eliminando gli n parametri, e le coordinate Xi t y ìy z t , avremo due equazioni 

 che saranno alla linea generata. 



11. Non avendosi le n equazioni che legano i parametri colle coordinate 

 del punto generatore, in luogo di avere per generata un'unica linea, si avran- 

 no delle linee ad uno o più parametri variabili. 



12. Problema VII. Date più famiglie, e le relazioni che i punti genera- 

 tori delle linee generatrici aver debbono fra di loro e col punto generato, de- 

 terminare la linea generata. 



Suppongasi che le famiglie sieno n, e che contengano rispettivamente 

 Pj q, ....t parametri variabili. Dovendo ogni punto generatore essere determi- 

 nato sopra la rispettiva generatrice, avremo p + tj + • • t equazioni di relazio- 

 ne fra i parametri e le coordinate dei punti generatori e generato. A queste 

 poi aggiungendo le 2 » equazioni delle date famiglie, e le tre equazioni che 

 determinano la posizione del punto generato rapporto ai generatori , e final- 

 mente le « — 1 che legano fra di loro i punti generatori in un solo sistema, 

 avremo l'equazioni necessarie e sufficienti onde eliminare tutti i parametri e 

 1& coordinate dei punti generatori. L' equazioni risultanti saranno fra le coor- 

 dinate del punto generato, e rappresenteranno la linea generata. 



Delle superficie. 



i3. Quanto alla superficie si potrebbero partitamente risolvere i due pro- 

 blemi delle generazioni, e quando unica è la famiglia generatrice, e quando 



