3? 

 II. Muovendosi nello spazio una sfera, e sopra di essa muovendosi con 

 data legge un punto, date le relazioni di movimento, determinare la linea da 

 esso punto descritta. 



42. Veniamo al primo. Si premetta la seguente trasformazione di coordinate 

 dovuta all'Eulero. Sia l'equazione di un piano x — cot. /3. y — cot. X z — e = o, 

 e per il punto d'intersezione di questo piano coli' asse della x sia condotta 

 in esso piano una normale alla traccia xj. Si consideri adesso la traccia xy 

 come asse delle ascisse X, e quella retta come asse della Y di punti esistenti 

 sopra questo piano. Ciò posto, indicando per Xjj, z le coordinate dello spa- 

 zio del punto al "quale nel piano corrispondono le coordinate X, Y; ed espri- 

 mendo con i l' inclinazione del piano con quello delle xy } avremo 

 z = Y sen. ìj 



x = e + X cos. /5 + Y cos. i cos. /3 , 

 y = X sen. /3 — Y cos. i sen. £ , 



cot. >. cos. >. 



V 1 + cot. j3 a + cot. :\ V* 1 + sen. X 1 cot. |S ■ 



43. Sia ora in questo piano una linea la quale si muova con data legge, 

 e determiniamo la superficie generata da questa linea.' 



L' equazioni che determinano il movimento di una linea in un piano 

 sono [A) Fi ( Xi, 7i)=ao equazione delle linee , e le seguenti : 



Xi = a + X cos. y — P sen. y, 

 Yx = b + X sen. 7 -f- P cos. y, 

 f( aj b) = o, y =* (a), 



ove a, b sono le coordinate del punto direttore, e 7 l'angolo di rotazione (1). 

 Dovendosi poi il piano muovere con data legge , e dovendo essere data 

 la relazione dei movimenti , avremo tre altre equazioni : 



$' = o, O" = o, $"' = o. 

 Eliminando per mezzo di queste dodici equazioni i parametri di moto e le 

 coordinate X, Y 3 X ' , Y' , X equazione risultante sarà alla ricercata superficie . 

 44- Se si eccettui l'equazione (A), e dalle altre si eliminino i parametri 

 di movimento e le coordinale Xj Y_, avremo due equazioni fra le x } y, z, 

 che saranno alla linea descritta dal punto di coordinate primitive X tì Y t . Le 

 quantità X x , Y, saranno i parametri di questa linea; quindi se si considerino 



(1) Vedi la mia Memoria sulla generazione delle linee in un piano, inserita nel tomo VII. 

 degli Alli dell'Accademia di Padova. 



