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L'equazione della tlata superficie sia F l ('dfi.JTi, Zi ) = o, e l'equa- 

 zioni della data linea sieno F 2 (xi,fi,z % a,b) =>o, tv (.r 2) / 2 , z 2l a, i)=o. 



Sieno poi />., <jr, r le coordinate del punto d'intersezione, ed XjJTj z le 

 coordinate ai punti della superficie generata; finalmente sia l'arco = f, essen- 

 do p nota funzione delle coordinate del punto d'intersezione. 



Avremo in primo luogo 



F, {p J Cf, r) = o, F 2 (p, q, r, a, b) — o, ? 2 (p, q, r, a, b) =o 

 F 2 [x, y, z, a, b) = o, ? 2 {x, y, z, a, b) = o. 



Quindi sarà p = ♦ [p } x). Eliminando da queste equazioni le coordi- 

 nate del punto d'intersezione, ed i parametri variabili a, b_, l'equazione risul- 

 tante F (Xjjj z) = o sarà alla superficie generata. 



87. Abbiamo assunto l'equazioni della data famiglia a due prametri, avve- 

 gnaché se fosse ad un solo, le linee della famiglia intersecherebbero la data 

 superficie in una linea, e la generata sarebbe una linea in luogo d'essere una 

 superficie. 



88. La famiglia delle linee sia data dall'equazioni z 2 = a x? t y? = b xi, 

 e l'equazioni generali si cangeranno nelle altre 



F t \p, ff, r) == o, r = a p, q = b p, z — a x } y = b x 

 p= V x + a'+A» (p — x), 

 e l'equazione generale alla superficie generata nel caso di p costante, o fun- 

 zione di x, fj z, sarà 



Fl Lf,_ t ._i_ — \j x+ ? — v z l + % )L 



J V Va?-Ì-j*+s t / \ Vx^+jt + z-* ' \ Vxt+y^ + z-*/ \ 



e questa sarà l'equazione generale delle superficie concoidee di data superfi- 

 cie generatrice. 



89. Volendo che la famiglia delle linee sia la famiglia delle normali alla 

 data superficie, prendendo p costante, si avranno l'equazioni per la ricerca 

 delle superficie parallele. 



90. Problema XI. Data l'equazione di una superficie, determinare la fami- 

 glia delle superficie generatrici. 



Come abbiamo osservato nella generazione delle linee, il problema è in- 

 determinato ; senza però ripetere quanto a questo proposito si è detto , assu- 

 miamo tre famiglie di superficie ad un parametro variabile, e determiniamo la 

 relazione necessaria fra i parametri, onde dalla intersezione successiva delle cor- 

 rispondenti superficie abbia origine la data. 



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