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Di non minore importanza si è per lo sviluppo e perfezionamento della 

 scienza il migliorare le dimostrazioni delle proposizioni o rispetto alla esattezza 

 od alla semplicità. Per la qual cosa esporrò una teorica delle permutazioni or- 

 dinarie, semplice, per quanto io credo, e generale, deducendo da pochi e ge- 

 nerali principii la soluzione di tutti i problemi che si riferiscono al caso in 

 cui tutte le cose sieno fra loro differenti , ed a quello nel quale si suppone 

 esservene d'identiche. 



Alla teorica delle permutazioni segue quella delle funzioni simmetriche, di- 

 mostrata, per quanto a me sembra, in modo pur generale, deducendo dalle 

 formule stabilite la dimostrazione del teorema di Newton sulle somme delle 

 potenze delle radici. 



I. Dei principii della geometria analitica. 



Dei punti considerati sopra una linea. 



i. Sia la linea indefinita XX' (Fig. i.); la posizione di un punto qualun- 

 que M rapporto al punto A si potrà determinare quando si conosca da qual 

 parte cade del punto A ed a quale distanza. 



Suppongasi dalla parte di X, ed indichiamo in generale con x le di- 

 stanze prese da A verso X. Essendo A M — a, l'equazione x — a servirà a 

 determinare la posizione di M. 



i. Viceversa data l'equazione x~b, si saprà determinare il punto cui cor- 

 risponde. Sia adesso x = a — b; per determinare la posizione del punto cor- 

 rispondente a questa equazione, presa AN = a (Fig. 2.), dal punto N pro- 

 cedendo verso A, prendasi N M <=bj e sarà M il punto richiesto. 



3. Se b < a, il punto M cade fra N ed A; ed essendo b—a + e, il 

 punto M cadrà dalla parte di X' in modo che A M = c. Ma in tale ipo- 

 tesi è x = a — {a + e) = — e; dunque l'equazione x = — e corrisponde al 

 punto M situato ad una distanza e dal punto A, presa dalla parte opposta a 

 quella , secondo la quale si prendono i valori positivi di x. 



4- Quindi avendo riguardo alla grandezza ed al segno di a, l'equazione 

 x = a servirà a determinare la posizione di un punto qualunque della XX 

 relativamente al punto A. 



5. Essendo la linea rientrante ABC (Fig. 3.) , dimostreremo egualmente 

 che, prendendo positive le distanze dal punto A nel senso di AB, saranno 



